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 On peut encore écrire 

 (1') r'{'^]-^^lœ^lMiœi—o, 



en posant 



2 M,. = -fio:) — p« - 2 fr{o^) = AÂl — p^; 



on peut remarquer que les quanlilés M^ sont égales aux moitiés 

 des puissances des sommets de référence par rapport à la 

 sphère A. La puissance d'un point quelconque X par rapport à 

 cette sphère est exprimée par XA^ — p^ ou par f{x — a) — f, 

 c'est-à-dire par le premier membre de l'équation (!'). 



Réciproquement, l'équation (T) représente pour toutes les 

 valeurs des M,, une sphère, car on peut l'identifier avec (1) en 

 posant 



(2) ^(^)-2f,.(a) = 2M,- + p^ (r=i,2,5,4). 



Ajoutons ensemble ces quatre équations, après les avoir mul- 

 tipliées respectivement par aj, ag, «3, «4; en tenant compte de 

 l'identité 2 a, = 1 , on trouve 



(3) — f(<>:)-22M^a, = p^ 



Des équations (2), (3) et de l'identité 2«, = 1, on peut tirer 

 linéairement les coordonnées du centre, le rayon p et l'inconnue 

 auxiliaire '^(a). 



Pour que léquation générale du second degré 



représente une sphère, il faut et il suffit qu'elle puisse s'identifier 

 avec (!'), ce qui donne, A étant un facteur indéterminé, 



2Mr = \ frr, ?r, -+" M. -t- M« = >/',,. 



L'élimination des M^ conduit aux équations de condition 



2 _ A I -t- A» - 2 A » _^ A i + As - 2 A 8 _ 



À fi> fis 



