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Si, dans le dévcIoppcmeiH (;)). on prend le terme en r,":?/, 

 !JL et V étant tels que leur somme surprisse (« -4- m -h «), son coef- 

 ficient devra être nnl. D'où la formule 



la somme s'ëtendant à toutes les valeurs de ^w, depuis o jusqu'à y., 

 de V, depuis o jus<{u"à v. 



Remarque. — On peut obtenir beaucoup d'autres formules sur 

 les combinaisons, en multipliant (I — j3)+' par (I — z)''"', s et I 

 étant des nombres entiers. Dans le cas où Ton prend les signes 

 inférieurs, on peut mulliplier entre elles les séries du second 

 luembre parce qu'elles sont convergentes et ont tous leurs termes 

 positifs, et le produit sera la série (fui donne le développement 

 de (I — z)-''". De plus, ces formules peuvent s'étendre à un 

 nombre quelconque dindiees. 



"2. Deuxième, troisième et r/uatrième formule. — \a\ formule 

 (A), dans le cas où l'on fait c = n = Ut = i)., = o, devient 



f {a, m) = :l (— 1 V"^ f (l) — m , m.-,) x r (« -^ h ■+■ i — m^, ni^) . ( I?) . 



On trouve encore par le |)roeédé indiqué dans la remar([uc pré- 

 cédente ' 



f(m -4- 1 —;?,,/',) = 2 ^ (m — /f, /) X ^('/ — "i, "j — /)• • (Cs 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de / depuis o jusqu'à ;?,. 

 Enfin, en effectuant les calculs indiqués dans le second mem- 

 bre, on démontre sans peine que 



'fia -4- t , A*) = ■{> {a, A-) -+- f (rt H- I , A- — 1). 



Par suite, 



f(a -f- 1. k) = f{a, A) -+- f{a, /.•—!)-+- 'T>{a,lc ~ ^2) -+- ... -h f{a, 1) -t- fia, o) (D). 



' Catalan, Journal de Uouville, t. VII. 



