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5. Démonstration de la formule de Laplace sur la somme des s 

 premiers termes du hinome. — Cette formule est la suivante : 



f(m-^-^,o)-+-^i.?(m, \) -^ u^ . r{m— l,2)-f- -\- u" f{m ~h l ~n.n) 



{l-+-w)"[ 



y(m — n, 0) H- f[m - /*, 1 )-+- f{m - ii, i2) 



ï -i~U (1 -h M)2 



f{m 



(1-t-M) 



— n, n) 



où II désigne une quantité positive. Pour (iéuiontrer celte i'oi- 

 mule, nous poserons 



u 1 



La formule précédente deviendra , en divisant les deux mem- 

 bres par (1 H- ?/)" 



f (m -+- 1, o) f/" H- f{m^i)q" - 'p-t- -h r'(m 4- 1 — n, 7i) p« = f{m—n, o)p'' 



-\-f[m — n^\)p-v-....-\-f[m — n,u)p'' (6). 



Remplaçons, dans chaque terme o{m — n^ l) p^ du secoud 

 membre, p^ par 



p' {P -t- QY' ~ ' ou 2 fin — Uj , 7ii — /) p" ' q"-"i , 



la souime s'étendant à toutes les valeurs de ^^, depuis o jusque 

 {n-—l). Après celte substitution le coelïicient de ;y'i<y"-"' dans 

 le second membre de (6) sera 



2 f{m — M, l) X ?(n — /il , Ui — l) , 



la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de /, depuis o jusqu'à ;/,. 

 Or celte expression, d'après la formule (C), est égale à 



