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c'est-à-dire au coellicieiit de p"i(j"~"i dans le premier meiiibre 

 de (6). Cette égalité (G) est donc vérifiée. 



§ 11. — Le pkoblème des partis dans le cas de deux joueurs; 



DE trois joueurs, CtC. 



1. Cas de deux joueurs. — Deux personnes, A, B, jouent à un 

 Jeu tel qu'à chaque coup l'une des deux gagne un point. Pou?' que 

 la partie soit terminée il manque (a -f- d) points au joueur A, 

 (b -+- i) à B. Sachant que les probabilités de gagner un point sont 

 respectivement p et q pour A et b , on demande la probabilité P 

 pour le joueur A de gagner la partie. 



La probabilité que A gagnera a fois, B m lois sur (« -^ m) coups, 

 puis que A gagnera encore une fois, est p" .q'". v(a, m) X p', pai' 

 suite, 



P = 5;'p« + ' . y(a, m) . ry"» . = p«+ ' 27'» x 'fia ,m) . . . ( 7), 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de m, depuis jusqu'à b. 

 On peut remarquer, avec Poisson, que la partie sera terminée 

 après a -+- 6 -+- 1 coups, au plus. Si on imagine que dans tous les 

 cas A et B jouent a -+- 6 -+- 1 fois , la probabilité que A fera (a -h i) 

 points, au moins, ou que B en fera b, au plus, sera précisément 

 égale à P. Or, la probabilité que A fera (« -+- 6 -t- l — /xj) points 

 et que B en fera /u,, est 



et, par suite, 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de yUi, depuis jusqu'à 6. 



On peut démontrer comme suit l'identité des expressions (7) 



et (8) de P, au moyen de l'analyse. Remplacez, dans la seconde, 



p''-^i pnr 



(1 - q)'' - P-i == s ( - 1 )K2 qV-î ^(6 — ,u, ,u,) , 



