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la somme 2 sétendant à toutes les valeurs de f/.^, depuis o jus- 

 qu'à (h — II,). On aura pour coefïieient de //'"^' q'" dans l'expres- 

 sion (8), après eettc substitution 



2 (— 1)'»2 f{b — m, m.^) ^(« -f- 6 4- I — nu , niA ) , 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de m^, depuis o jusqu'à?». 

 Mais ce coenicient, d'après la formule (B), est égal à y(«, m), c'est- 

 à-dire au coefficient de //+' (f dans l'expression (7) de P. D'où 

 résulte l'identité des deux expressions (7) et (8). 



Remarqiie. — Nous venons de trouver P en fonction de /) et 

 de q sous deux formes différentes se ramenant l'une à l'autre. On 

 peut facilement éliminer /; ou q de l'expression de P. Ainsi, si 

 Fou ('linjiiie />, il vient 



P = (1 — 7)"-+-* ^qx' X r(a, "0. 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de m^ depuis o jusqu à m. 

 Si Ton élimine q l'expression peut prendre une forme assez 

 rcmartpiable. On a, en effet, 



Iq"' p(«, m) — 1{\— p)'" ficiy ?n) = 2 (— 1)' pi ?(«,'«) X T'C'» —1,1)^ 



la dernière somme se rapportant à toutes les valeurs de /// , de o 

 à 6, et pour chaque valeur de m, à toutes les valeurs de /, de o 

 à m. Le coelïicient de p' est donc 



2f(f/, m) X ■j'{m — /,/), 



abstraction faite du signe, la somme s'étendant à toutes les valeurs 

 de >H, dej)uis /jusqu'à 6. Or on a : 



1 . 2 . 5 .... (a -t- m) 



'r{a,m) x f{m — 1,1)=: 



2.3.. .a X 1 .2.3.... (m - /) X 123.../ 



= f{a, l) X f{a -^-l^m — l). 



