( l'i ) 



Au 1110} cil de la formule (A), cette expression peut se incttrc 

 sous la forme 



P = p«+ ' 2 (— 1)"'2 -*- "2 r/"' r" X f{b — m -h c- — w, m», yi^) 



X f(«-f- &-4- 6- -J- 1 — m. — ?«, , 7?t,,?i,) (!0), 



la somme s'étendant à toutes Jes valeurs de wi, de o à 6, de ?*, 

 de à c, et pour chaque valeur de m et n, à tontes les valeurs 

 de Wj, de à m, de r^i, de o à «. 



Si l'on résout le problème suivant, analogue à celui auquel 

 Poisson ramène le problème des partis, dans le cas de deux 

 joueurs : cherchez la probabilité P,, pour le joueur A, de faire au 

 moins {a h- i) points sur {a -h 6 h- c -h I) coups, on trouve 



i«+i 



lp''-fii+t-~'i q\^\r-'r y(«_^-f; + c-+- ! — M, —V,, ^c,, y,) (11), 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de t/., et */, , comprises 

 entre o et 6 -4- c, pourvu que ^i -+- vj ne surpasse pas (6 -♦- c). 

 liemplaçons cette expression p'>-V'i-^''->i par (I — q — |-)*-P-i-Hc-yi 

 et nous trouverons 



X f(a-t-6-+-c-i- 1 — At, — y,, Uj, v^), 



la somme s'étendant à toutes les valeurs de y-j, comprises entre o 

 et (6 -+- c), de j/j entre o et (6 -t- c), de p.., de o à (6 h- c — ^u, — i',), 

 de ^2 de à (6 -4- c — /ixi — vi), pourvu que f^, -+- v, ne surpasse 

 pas 6 -t- c et que u..^ -4- vg ne surpasse pas [b -¥- c — /u^ — v,). On voit 

 que les limites entre lesquelles doivent varier ces nombres sont 

 diflerentes des limites entre lesquelles doivent varier les nom- 

 bres correspondants de l'expression P. Et, en effet, P^ est en 

 général différent de P, puisqu'il se peut que A fasse («-4- 1) points 

 sur (a -4- 6 -h c -h 1 ) coups et gagne ainsi dans le second cas, sans 

 que pour cela il les fasse avant que B n'ait gagné (6 -+- 1) fois ou 

 C (c -4- 1) fois. On a donc en général P, >P. Si Ion a 6 = 0, c = o, 

 l'on aura P = Pj. 



Si l'on cherche la probabilité P^ que B fera au plus h points, 



