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on devait s'y attendre, parce qu'elle ne doit pas changer, lorsque 

 les coordonnées p augmentent toutes d'une même quantité. 



Une propriété importante de la fonction e est celle d'être une 

 somme de trois carrés. Elle peut s'établir de plusieurs manières; 

 la démonstration suivante nous paraît la plus élégante. Posons 



nous aurons les dix équations de condition 



(1) L; -t- M,^ -^ i\? = a,S 



(2) L,.Ls -4- M, Ms -h N,. N« = — a,- (ts cos a, a, , 



Par un point quelconque intérieur au tétraèdre de référence, 

 abaissons des perpendiculaires /j , l^ , /j, li sur les quatre faces et 

 menons en outre trois droites orthogonales quelconques x, y, z. 

 Les équations (I) sont évidemment satisfaites par les valeurs 



L, = «,. cos l,x, M, = a, cos IrV, N, = a,- cos l,z. 

 Mais ces valeurs vérifient également les équations (2), puisque 



— cos a, tts = cos /,• Is = cos /, x . cos IsX-h cos /,• y . cos h y ■+■ cos IrZ . cos IsZ. 



Les trois droites x, //, z étant arbitraires, la réduction de s h 

 une somme de trois carrés peut môme se faire d'une infinité de 

 manières. La fonction e est donc constamment positive quelles que 

 soient les valeurs réelles dcpi,pi,p~^,pi, et elle ne peut s'annuler 

 que pour le système unique de valeurs des rapports 



Pi El. Pi 

 Pi' Pi' Pi 



qui résulte des équations ihip^ = o, sMi^i = o, sN,/;, = o. 

 Comme nous avons déjà trouvé ci-dessus que f(l) = o, nous 

 voyons que ce n'est que pour des valeurs égales des coordon- 

 nées p que f s'annule. Ces valeurs correspondent au plan de l'in- 

 fini (§ 32). 



51. Direct iuu d'un plan. — Cherchons les coefficients direc- 

 leurs de la normale dun plan en fonction de ses coordonnées. 



