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l'expérience ne peut ici servir à rien, les erreurs inhérentes à 

 toute expérience humaine étant bien supérieures à la différence 

 qui devrait exister entre les résultats dans les deux géométries. 

 Pour cette raison, et bien que je sois arrivé à quelques faits re- 

 marquables dans la géométrie abstraite proprement dite, je n'in- 

 sisterai pas sur cette partie , parce qu'il ne s'agit, dans l'état actuel 

 de la science *, que d'établir la possibilité de l'hypothèse et qu'elle 

 me paraît suffisammeut établie en géométrie pure. Mais il faut 

 aussi que cette même hypothèse, transportée dans la mécanique 

 rationnelle, permette d'édifier cette science sans aucune contra- 

 diction. Je m'en suis occupé depuis longtemps et je crois que, 

 dans cette partie au moins, la priorité me reste. 



Je vais exposer ci-dessous mes principaux résultats; ils suffi- 

 sent, je pense, pour faire présumer qu'il en est de la mécanique 



* Je veux dire qu'actuellement la géométrie abstraite est purement spé- 

 culative et ne peut avoir aucune application pratique , car Texpérienee n'a 

 jamais montré, dans la somme des angles d'un triangle rectiligiie, la moindre 

 déviation de deux angles droits. Mais rien ne dit qu'elle n'aura jamais d'appli- 

 cations. 11 peut s'en présenter dans deux ordres d'idées différents : 



!•> Comme moyen d'intégration. Voir les applications de Lobatschevvsky 

 dans ce sens {Journal de Crelle , 1837). 11 est juste de dire que les intégrales 

 définies de Lobatschewsky et celles que j'ai trouvées moi-même dans cette 

 voie, jusqu'ici, peuvent s'obtenir par analyse pure, mais il est loin d'être 

 prouvé qu'il en sera toujours ainsi; 



2° Il se peut qu'en astronomie ou en mécanique céleste on en vienne un 

 jour à raisonner sur des figures très-grandes dans lesquelles la géométrie et 

 la mécanique ordinaires ne seraient plus applicables. Je n'en citerai qu'un 

 exemple et je le prendrai très-simple. Je sais que, jusqu'ici, les astronomes 

 ne s'occupent guère d'évaluer, même approximativement, la distance de la 

 terre aux étoiles, ni des étoiles entre elles; mais ils sont au moins bien con- 

 vaincus que, lorsqu'en visant sur deux étoiles, ils trouvent leur distance an- 

 gulaire plus petite que 60°, la distance effective de ces étoiles est plus petite 

 que leur distance à la terre, ou, au moins, que la distance de l'une d'elles à 

 la terre. Or, selon moi, cette conviction ne repose absolument sur rien; ils 

 appliquent ici des principes que la théorie n'a pas démontrés jusqu'à présent 

 et que l'expérience n'a pu démontrer que dans des figures très-petites, et le 

 côté qu'ils supposent le plus petit du triangle pourrait fort bien être le plus 

 grand (tout ceci en admettant que la lumière des étoiles nous arrive en ligne 

 droite, ce qui est une question en dehors de mes études). 



