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Ce n'est pas à dire que la courbe des valeurs de Zy et de p puisse 

 avoir deux équations, ce qui serait absurde, mais il faut remar- 

 quer que quand l'une des intégrales est réelle, Taulrc est néces- 

 sairement imaginaire, vu les radicaux l/R'^ — 1 , \^\ — R'^; il 

 faut donc choisir entre les deux. Dans un plan , on a nécessaire- 

 ment R' = l ou R' > 1 ; si R'= 1 , l'axiome XI d'Euclide est dé- 

 montré et il est inutile d'aller plus loin ; si R'> i , c'est la première 

 intégrale qui est réelle et c'est pourquoi je l'ai choisie au n** 6, 

 sans en donner alors la raison. 



Mais, sur une sphère, on a nécessairement R'<1 et alors c'est 

 la seconde qui est réelle : on a donc 



cire R 



angle sinus (|/l — R'^ sin |j 



l/l — R'2 

 't, en prenant pour limites | = et |= 1 '^. 



cire R aiii^le sin 1/ 1 — R'^ 

 2 l/l - R'2 



On voit déjà que les conclusions ne seront plus les mêmes, mais 

 il convient de poursuivre cette étude. 

 Au n° 7, j'ai posé l'équation 



3irc R V 



cire 2 

 cil 



cire 2R 



mais puisque, sur la sphère, t^"r=^7I^ < 'ï 5 je dois changer le 

 signe du second terme et poser 



cire 2R _ / circ^ R 



circR V RP ^ '* 



il n'y a, d'ailleurs, aucun doute que M soit encore constant, car 

 cette équation ne diffère de la précédente qu'en ce que jp y est 

 remplacé par — |p; donc, puisque ^ était constant pour le plan , 

 — jP le sera pour la sphère et par conséquent M. 



