( 33 ) ■ 



le signe — de l'équation (15) se change en -+- ; au lieu d éliminer 

 |, on élimine — -^ et les calculs redeviennent communs jusqu'à 

 l'équation (IG) dans laquelle il faut choisir le signe — pour le 

 radical, vu l'équation (14). On a donc 



eq {a -\- b) = eq a eq b — Y^' [l — eq '^ a) (1 — eq^ b). 



Faisant a = b, on retrouve les équadons (17) et (18) sans mo- 

 difications. 



Si l'on se sert de la formule (10) modifiée dans la démonstra- 

 tion du 3"" énoncé cinématique, le résultat ne change pas non 

 plus, car alors c'est 1 — cos^B — cos^C qui est positif. 



On voit aussi que la démonstration analytique du i"*" énoncé 

 est préférable à la démonstration géométrique qui la suit et qui 

 ne s'applique pas à la sphère. 



Une autre considération à laquelle il faudra avoir égard, si l'on 

 veut que les formules soient tout à fait générales, c'est que, sur 

 la sphère, les circonférences ayant un rayon sphérique compris 

 entre 2 et 4 quadrants, G et 8 quadrants, etc., doivent être 

 considérées comme négatives, ainsi que les équidistantes dont 

 les hauteurs sont comprises entre 4 et 3 quadrants, 5 et 7 qua- 

 drants, etc. 



14. Lignes et su7^ faces uniformes. — Horicycle et hoinsphère *. 

 — Dans un plan, les lignes uniformes sont la ligne droite, les 

 équidistantes et les circonférences. L'équidistante ayant une hau- 

 teur infinie coïncide avec la circonférence ayant un rayon infini 

 et prend le nom d'horicycle (cette coïncidence est démontrée 

 dans la deuxième partie). 



Dans l'espace, les surfaces uniformes sont le plan, la sphère 

 et les surfaces équidistantes d'un plan. 



La surface équidistante ayant une hauteur infinie coïncide avec 

 la sphère ayant un rayon infini et prend le nom d horisphère 

 (cette coïncidence est rendue évidente si Ion engendre la surface 



' Expressions empruntées à Lobalsehewsky. 



Tome XXI. 3 



