( 3i ) 



équidistante et la sphère par la rotation d'une éqiiidistante et 

 d'une circonférence autour d'une normale). 



Sur la surface sphërique, la circonférence de grand cercle joue 

 le même rôle que la ligne droite dans le plan, et les seules lignes 

 uniformes qu'on puisse tracer sont les circonférences de grand et 

 de petit cercle. 



Sur l'horisphère, l'horicycle joue le rôle de la ligne droite et 

 les lignes uniformes sont l'horicycle et les circonférences. 



Sur les surfaces équidistantes, la ligne droite est remplacée par 

 la ligne équidistante de même hauteur que la surface, et les lignes 

 uniformes sont les équidistantes (depuis cette hauteur jusqu'à 

 l'infini), l'horicycle et les circonférences. 



Les principes de géométrie générale que j'ai exposés sont ap- 

 plicables à toutes les surfaces uniformes. 



Je les ai déjà appliqués à la sphère. Pour les surfaces équi- 

 distantes, il suÛit de reprendre les formules relatives au plan en 

 changeant M en M' et de poser M' = M eqh, h étant la hauteur 

 de la surface équidistante. 



Pour démontrer cette dernière formule, on projette sur le plan 

 de hase une circonférence tracée sur la surface équidistante; on 

 calcule les longueurs des deux circonférences, l'une dans la sur- 

 face , l'autre dans le plan de base , en fonction de M et de M' ; enfin 

 on observe que la circonférence primitive est égale à sa projec- 

 tion multipliée par eqh et que son rayon curviligne est dans le 

 même rapport avec le rayon recliligne de l'autre. 



Pour l'horisphère, on a M' = oc et l'on retrouve la géométrie 

 plane usitée, ce à quoi on arrive aussi en considérant l'horis- 

 phère comme une sphère-limite et en y cherchant la somme des 

 angles d'un triangle. 



15. Du parallélisme. — Si, par un point A, on mène à une 

 droite CD différentes obliques AB , AB', qui vont la rencontrer 

 de plus en plus loin, elles forment avec CD des angles B, B' qui 

 diminuent indéfiniment. J'appellerai parallèle* l'oblique limite AP 



* Avec Lobatsclievvsky. Auparavant je l'appelais asymptote. 



