DEUXIÈME PARTIE. 



COMPLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE. 



]. Lorsque deux droites situées dans un même plan ne se ren- 

 contrent pas et ne sont pas parallèles, elles ont une perpendicu- 

 laire commune. En effet, si AB et CD ne se coupent pas et ne 

 sont pas parallèles, on peut, par le 

 point M, pris au hasard sur CD, mener 

 à AB les deux parallèles, MP, ^ÎQ, et 

 Ton sait que ces parallèles ou asymp- 

 totes se rapprochent indéfiniment de 

 AB, sans la rencontrer jamais. On sait, 

 de plus, qu'elles doiventlaisserla droite 

 CD en dehors de leur angle, sans quoi 

 CD irait rencontrer AB. Il est dès lors 

 \t) ^^'^dent que tout point de CD se trouve 

 à une distance finie de AB et que, parmi 

 toutes les lignes que l'on peut mener d'un point quelconque de 

 CD à un point quelconque de AB, il y aura une ligne minima qui 

 ne sera pas nulle. Soit EF cette ligne, qui est nécessairement 

 droite. Si l'un des angles E ou F n'était pas droit, on pourrait, 

 du sommet de l'autre, abaisser sur AB ou CD une perpendicu- 

 laire qui serait encore plus courte que EF, ce qui est contre l'hy- 

 pothèse; donc E et F sont droits et les deux droites données ont 

 une perpendiculaire commune *. 



' xVbstraction faite de Ficlée de la double parallèle que Ton trouve dans 

 Lobatschewsky ou dans ma première partie, j'emprunte, dans cette démon- 

 stration , une idée de M. Ossian Bonnet relative à la perpendiculaire au plan. 

 Voyez Rouché et de Comberousse, Traité de Géométrie , p. 335. 



