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 Il suffit maintenant de différenlier celle expression par rap- 

 port à h pour reconnaître qu'elle augmente avec h, c'est-à-dire 

 ([uc réquidistanteest d'autant plus courbe qu'elle est plus distante 

 de sa base, ce qui était assez évident par soi-même. 



Mais ce qui est remarquable, c'est qu'à la limite, c'est- 

 à-dire quand la hauteur est infinie, on obtient encore 

 une courbe- limite parfaitement déterminée telle que 

 MBN. En effet, on a alors 



w 1 1 



-+ 



N 



V 2.5 2.... 5 



J'appellerai la courbe MBN équidistante-limite. 

 Les courbes équidislantes jouissent de propriétés très- 

 remarquables; ainsi lorsqu'on les projette sur une horisphère 

 de Lobatschewsky par des axes ou des normales à cette surface, 

 on trouve des ellipses pour projections; il en résulte par les pro- 

 priétés projectives des figures (Poncelet) que tous les théorèmes 

 de position relatifs aux sections coniques de la géométrie usitée 

 sont applicables aux lignes équidislantes; par exemple, la théorie 

 des pôles et des polaires, les propriétés des hexagones, penta- 

 gones, quadrilatères et triangles inscrits découvertes par Pascal, 

 Brianchon et d'autres. Il existe, dans le plan, bien plus de lignes 

 jouissant de ces propriétés qu'on ne l'admet dans la géométrie 

 usitée. Mais comme je n'en aurai pas besoin pour la mécanique, 

 je n'insisterai pas sur ce point. J'y reviendrai peut-être un jour. 



Ce qu'il importe de remarquer, c'est que la courbe-limite uni- 

 forme dont je viens de préciser le mode de génération est absolu- 

 ment la même que la courbe-limite ou horicycle de Lobatschewsky, 

 c'est-à-dire la circonférence dont le rayon est infini. Pour le 

 démontrer, il me suffira de faire voir que, dans cette dernière, 

 le rapport -est le même que plus haut. Soit donc une circonfé- 

 rence de rayon r engendrée par le point A glissant sur la tangente 

 AB pendant que celle-ci tourne autour du point de contact. Si 

 l'on imagine que la normale AO suive le mouvement de la tan- 

 gente en lui restant toujours perpendiculaire et passant toujours 

 par le point de contact, le centre aura deux vitesses, l'une veqr 



