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 gramme en fonction de deux côtés et de l'angle compris , on a 

 donné à ce facteur le nom de smus de Vangle solide *. Nous pou- 

 vons donc écrire 



' — 00 1 X.2 «Cj SI 11 Jîj ce 2 OC- j 

 (I). . . sin x^ ^2 x^ = siu ^j sin >^, = sin ^^ sin ^^ = sin Çj sin ifg. 



Pour obtenir une autre expression de sin x^ x^ Xs, projetons M 

 en N sur OA,; l'angle A3 NM sera la mesure du dièdre X, et les 

 triangles rectangles A3MN, A3 NO donneront 



A3 M = A5 N sin X, = x^ sin ^j sin X^. 



On en conclut 



sin x^ x^ x^ = sin Ç^ sin ^3 sin Xj 



(2) = sin ^3 sin Ç^ sin X^ 



= sin ^1 sin ^o sin X3. 



Pour exprimer sin x^ x^ x^ en fonction des trois angles fi, §25 §3» 

 considérons le triangle sphérique intercepté par le trièdre sur 

 une sphère décrite de comme centre avec l'unité pour rayon. 

 La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donne 



cos ^, = cos ^2 cos ?3 ■+■ sin ^2 sin ^3 cos Xj , 

 d'où 



cos H, — cos ^, cos ^3 



(a) cos X, = ^\ ,^\ ^, 



sin ^2 sin Çj 



(6) Sin- X, = 1 ~ cos* X, = r-7i — —^^ 



sin 2^2 sin %^ 



_ (J — cos^ ^2) (1 — COS* ^3) — (cos Ç, — cos H2 cos y* 

 sin *^2 sin -^^ 



1 — cos' ^1 — cos* ^2 — cos* ?g H- 2 cos ?t cos ^2 cos ?3 



"~ ^ sin* §2 sin* ^3 



On en conclut cette valeur importante du sinus de l'angle solide 

 qui se présente souvent sous forme de racine carrée d'un déter- 

 minant : 



(5) sin x^ x^ a?g = |/l — cos* Çj — cos* ^3 — cos* ^3+ 2 cos ?i cos ^2 cos ly 

 * Dénomination duc à von Staudl. Voir Journal de C/-e//c, t. XXiV, p. 2b. 



