(7) 



En décomposant le numérateur de la fraction [b] en facteurs, 

 on trouve, après quelques transformations faciles, 



d'où, en posant ti -+- $2+ ^3^= 2,9 : 



(4) . . siu JCi 072 -2*3 = 2 *^sin s sm{s — Çj) sin(5 — Ç.2) sin (s — H.). 



Les formules (I), (2), (4) offrent la plus grande analogie avec 

 celles qui expriment le double de la surface du triangle rectiligne. 

 Remarquons aussi que le sinus d'un angle solide peut être défini 

 comme étant le volume du parallélipipède construit sur cet angle 

 avec des arêtes égales à l'unité. 



2. Relatmi entre les angles de quatre directions. — Étant 

 données trois directions de droites considérées comme fixes, les 

 trois angles qu'elles forment avec une quatrième direction va- 

 riable sont nécessairement liées par une identité. Car, si l'on mène 

 par un même point les droites OAj, OA2, OA3 parallèles aux 

 directions fixes (voir la figure précédente), une quatrième droite 

 quelconque 00' est déterminée par deux des trois angles O'OA,, 

 0'0A2,0'0A3. 



Pour trouver cette identité, prenons sur 00' une longueur ar- 

 bitraire 00' = / et construisons sur / comme diagonale et sur 

 l'angle solide OAi Ao A3 un parallélipipède. Soient x, , ^2, Xj les lon- 

 gueurs des arêtes. Si nous })rojetons la droite 00' et la ligne brisée 

 OAi PO' sur 00' et successivement sur chacun des axes OAj, OAg, 

 OA35 il nous vient 



('•) 



/ cos x^l = Xy -t- ^2 cos a?i Xçi, H- x^ cos x-^ x. , 



/ cos j-g / = J*! cos x.^ x^-{-x^ -\- x~ cos X.2 a*-, 



/ cos x- 1 = Xi cos X3 Xi -t- a?2 cos x^ x^-\- x-, 



où /xi5 JiX2, . . . désignent les angles que forment entre elles les 



