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Je suppose maintenant, avec Lobatschewsky *, qu'une longueur 

 a soit liée à un angle aigu a' par les équations identiques 



sin a' = - *^ — 7 tg a' = — -, 



et je continue de même à accentuer une lettre pour désigner un 

 angle qui en dépend de la même manière que a dépend de a. 

 Les formules (24) deviennent 



sin r' = s\np' sin q' 

 sin r' = tg P tg Q 

 tg r' = tg p' sin P. 



Ce sont les équations fondamentales que Lobatscliewsky pose 

 sans les démontrer {Journal de Crelle, 1857, page 290) et qu'il 

 démontre dans l'autre mémoire (traduit par M. Houël), mais en 

 s'ap[)uyant sur des considérations empruntées à la géométrie de 

 l'espace et sur l'étude d'une surface nouvelle (l'horisphère) , 

 tandis que, dans ce qui précède, on n'emploie que la géométrie 

 et la cinématique planes. 



On peut observer de plus que les propriétés cinématiques des 

 triangles rectangles, combinées avec les formules qui donnent 

 cire R et e(/R, présentent les résultats généraux de la géométrie 

 abstraite sous une forme très-facile à retenir et à appliquer. Ces 

 deux dernières formules elles-mêmes deviennent 



circR = TT (eR — e-^) 

 et 



par suite de l'hypothèse faite sur l'unité de mesure. 



10. Sur les aires planes. — Dans ce paragraphe, dont le con- 

 tenu n'est indispensable ni à l'intelligence, ni à l'exactitude du 



* Avant de connaître ses travaux, je laissais ces équations sous la forme 

 obtenue au n" 4, qui est plus simple et plus facile à retenir, el je ne les com- 

 binais pas avec les équations (22) et (25), très-faciles aussi à retenir séparé- 

 ment. 



