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reste, je me borne à donner le résumé des raisonnements, en 

 priant le lecteur de les compléter. 



J'appellerai aire équidistante, l'aire comprise entre une portion 

 de ligne équidistante, sa base et les deux hauteurs qui la limi- 

 tent; j'appellerai bande infiniment mince l'aire comprise entre 

 une courbe quelconque, deux normales infiniment petites et la 

 courbe équidistante de la courbe donnée , joignant les extrémités 

 des deux normales. L'équidistance doit toujours être comptée sur 

 les normales. On mène celle-ci du côté convexe de la courbe dont 

 on veut obtenir l'équidistanle. 



Je ne m'occupe, dans ce qui suit, que de courbes convexes. 

 D'abord il est évident que toute bande infiniment mince est équi- 

 valente à l'aire équidistante de même base et de même hauteur, 

 car si l'on imagine qu'une tangente décrive la base delà bande, 

 par translation et rotation, la normale décrira, en même temps, 

 la bande; mais la partie décrite par translation est rigoureuse- 

 ment égale à l'aire équidistante qui a une base équivalente et 

 même hauteur, et la partie décrite par rotation n'est qu'un mul- 

 tiple déterminé du cercle qui aurait la hauteur pour rayon; cette 

 seconde partie s'annule vis-à-vis de la première et le théorème 

 est démontré. Il en résulte que deux aires équidistantes de 

 même base et à hauteurs infiniment petites sont entre elles 

 comme leurs hauteurs, car si celles-ci sont dans le rapport 

 de m h 71, on divisera les aires équidistantes en m et n bandes 

 infiniment minces par des équidistantes auxiliaires, passant par 

 les points de division des hauteurs; mais toutes ces bandes infi- 

 niment minces sont équivalentes, car leurs bases ne diffèrent 

 que d'un infiniment petit (et même du second ordre d'après 

 l'équation (15), ce qui n'était pas nécessaire ici) et leurs hauteurs 

 sont égales, donc les aires équidistantes seront entre elles comme 

 leurs hauteurs. Le cas de commensurabilité implique, pour des 

 raisons connues, celui d'incommensurabilité; ainsi deux aires 

 équidistantes de même base et de hauteurs infiniment petites 

 sont entre elles comme leurs hauteurs; d'ailleurs il est évident 

 que deux aires équidistantes de même hauteurs sont entre elles 

 comme leurs bases; donc deux aires équidistantes quelconques, 



