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et, en remplaçant les équidistantcs elles circonférences par leurs 



valeurs 



cire û sin b = cire û sia a sin B 

 OU 



sin 6 =: sin a sin B . . . . , . . . . (1) 



cos B 

 cos b — (2) 



sin G 



cos a = cot B eot G (3) 



cos a =: cos ?^ cos c (4) 



ce qui sont précisément 4 formules connues des triangles splié- 

 riques rectangles; pour montrer que toute la trigonométrie sphé- 

 rique est contenue dans mes énoncés, il suffira de déduire des 

 formules précédentes la formule fondamentale 



cos a = cos 6 cos c h- sin 6 sin c cos A. 



Ici je me bornerai à indiquer la marche à suivre parce que les 

 calculs n'offrent rien de difficile, ni, je pense, rien de nouveau. 

 B Du point B on abaissera sur AC l'arc 



perpendiculaire BK qui divisera AC en 

 deux arcs b' et h", on calculera sin BIv 

 dans le triangle BKA par la formule (1); 

 on en déduira cos BK: alors, dans le 



^;— ~ -if^ même triangle, on calculera cos 6" par 



la formule (4); on en déduira sin 6"; 

 on calculera cos b' en remarquant que b' == b — b" et enfin on 

 calculera cos a par la formule cos a == cos b' cos BK qui donnera 

 pour résultat cos b cos c -+- sin 6 sin c cos A. La démonstration 

 se ferait sans plus de difficulté si le point K tombait en dehors 

 de AC. 



La trigonométrie sphérique est donc établie, et l'on peut en 

 déduire que la géométrie de la surface sphérique, considérée 

 isolément, reste la même dans la géométrie abstraite que dans la 

 géométrie usitée. 



12. Aire de la sphère et des segments sphériques. — L'équa- 

 tion obtenue au n** dO, cercle 2R = ^llîL^ résulte aussi de rai- 

 sonnements applicables à la sphère aussi bien qu'au plan et 



