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Abstraction der sinnlichen Wahrnehmung ist die, dass es überhaupt 

 Dinge gibt und dass dieselben mehr oder weniger verschieden von 

 einander sein können. 



Ein anderes Moment der Stcärke der Mathematik beruht darin, 

 dass sie innerhalb der eben angeführten Abstraction die einfache 

 Identität zur Basis ihrer Operationen macht mid daraus ihre Sätze 

 logisch ableitet. In der That kann nichts Unzweifelhafteres voraus- 

 gesetzt werden, als dass etwas sich selbst (oder einem Andern, das 

 es selbst ist) gleich sei, a = a. 



Eine solche Identität gilt auch für den Satz, mit dem die Mathe- 

 matik des Raumes beginnt, dass zwei parallele Linien sich nicht 

 schneiden und keinen Raum einschliessen. Es ist zwar die Behauptung 

 aufgestellt worden, dass in diesem Satze ein unbewiesenes, von unserem 

 Verstände hineingelegtes Axiom enthalten sei und dass aus dem 

 Parallelismus das Sichnichtschneiden noch nicht nothwendig folge. 

 Das Irrthümliche einer solchen Behauptung rührt augenscheinlich 

 daher, dass der Begriff der Linie in doppelter Weise gefasst werden 

 kann, und dass beim Ueberspringen von dem einen auf den andern 

 leicht der Eindruck einer Lücke erhalten wird. 



Die Linie ist einmal die Begrenzung einer Fläche ; ferner ist sie 

 die Bewegung eines Punktes (z. B. des Schwerpunktes eines Körpers). 

 Halten wir uns ausschliesslich an den einen oder an den andern 

 dieser beiden Begriffe, so tritt die Identität als einzige Voraussetzung 

 in dem Satze des Parallelismus klar zu Tage. Sind die zwei paral- 

 lelen Linien die Seiten eines Rechteckes, wodurch ja eben der überall 

 gleiche Abstand postulirt ist, so bleiben sie parallel, behalten den 

 gleichen Abstand, schneiden sich nicht, wenn wir uns das Rechteck 

 länger und länger, zuletzt unendlich lang denken. Sind die zwei 

 parallelen Linien dagegen zwei sich bewegende Punkte, was nichts 

 anderes heisst, als dass die Bewegungen eine Strecke weit den gleichen 

 Abstand einhalten , so müssen sie parallel bleiben , auch wenn die 

 Bewegung ins Unendliche sich fortsetzt; denn mit der Abweichung 

 vom Parallelismus würden sie den vorausgesetzten Charakter verlieren. 



Der Parallelisnuis und das Nichtschneiden sind also identische 

 Begriffe, was nur dann nicht sofort ersichtlich wird, wenn man die 

 linienförmige Begrenzung in die linienförmige Bewegung (die beiden 

 einzigen Begriffe, unter denen uns die Linie anschaulich ist) über- 

 gehen lässt. Zeichnen wir zwei parallele Striche auf das Papier, so 



