de démontrer que : 1° le triangle qui a pour sommets les centres 

 E,, E 2 , E 3 des triangles équilatéravx extérieurs a AjA 2 A 3 est équi- 

 latéral ; 2° le triangle qui a pour sommets les centres Ei, E 2 , E' 3 

 des trois autres triangles équilatéraux est équilatéral ; 3° la somme 

 des deux côtés E,E 2 , E<E 2 est égale au côté du triangle équilatéral 

 dont AjAaA, est la projection orthogonale sur le plan P ; 4° la dif- 

 férence des côtés E,E 2 , EiE 2 est égale au côté du triangle équila- 

 téral qui peut être considéré comme la projection orthogonale 

 de A,A 2 A 5 sur un certain plan Q. 



Le Besgue a vérifié cette proposition par le calcul (voir 

 Nouvelles Annales, 1869, p. 55o). Dans la Revue de l'instruction 

 publique en Belgique, t. XVII, p. 282 et dans la Nouvelle Cor- 

 respondance mathématique, t. I, pp. 111-116, nous avons signalé 

 la généralisation suivante du théorème de Lionnet : 



F. Dans le plan du triangle A<A 3 A 3 , on construit les triangles 

 D 1 A 2 A 3 , A,D 2 D 3 , A,AJ) 3 , DJA 2 A 3 , AjDâAs, Â|A 2 D S semblables à 

 un triangle donné C,C 2 C 3 ; les trois premiers étant extérieurs 

 à A|AgA 3 et les autres tournés vers l'intérieur de A,A 2 A 3 ; les som- 

 mets homologues des sept triangles semblables portent le même 

 indice. Soient E u E. 2 , E 3 , E 2 , E 2 , E 3 les centres des cercles cir- 

 conscrits aux triangles DiA 2 A 3 , ... Cela posé : 1° les triangles 

 EjE 2 E 3 , E;E 2 E 3 sont semblables à C,C 2 C 3 ; 2° les sommes 



e 2 e 3 -+- e;e 3 , e 3 e, -+- e 3 e;, e,e 2 -+- e;e 2 



sont égales aux côtés du triangle semblable à C,C 2 C 3 qui se pro- 

 jette orthogonalement sur A,A 2 A 3 ; 3° les différences 



E 2 E 3 — E 2 E 3 , EsEj — E 3 E, , EjE 2 — EjE 2 



sont égales aux côtés du triangle semblable à C,C 2 C 3 , qui peut être 

 considérée comme la projection orthogonale de AjA 3 A 3 sur un cer- 

 tain plan. 



Une démonstration synthétique du théorème Fa été donnée 

 récemment par M. Mantel dans les Wiskundige Opgaven, 1888, 

 p. 200. 



