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faisceaux dont les axes sont deux droites rectangulaires du 

 plan AiAsA 3 . Les projections et contre-projections de A^Aj 

 sur les plans faisant un même angle avec le plan AjA 2 A 3 sont 

 les éléments d'une série modulaire. 



Le théorème suivant résulte immédiatement de la proposi- 

 tion G : 



H. Si, sur une même base, on construit des triangles semblables 

 à ceux d'une série axiale ou à ceux d'une série modulaire, le lieu 

 des sommets est une circonférence. 



Les circonférences qui se rapportent aux différentes séries 

 axiales appartiennent à un même faisceau F ; celles qui corres- 

 pondent aux différentes séries modulaires font partie d'un second 

 faisceau F'. Les faisceaux F, F' sont orthogonaux. 



V. Dans la proposition F, nous avons rencontré une figure 

 composée d'un triangle fondamental ou directeur A,A 2 A 3 , de 

 trois annexes extérieures DjA 2 A 3 , À,D 2 A 3 , A,A;>D 3 et de trois 

 annexes intérieures DiA 2 A 3 , A,D 2 A 3 , A^Ds; les annexes sont 

 semblables à un même triangle donné QC^. Les droites A,D,, 

 A 2 D 2 , A3D3 concourent en un même point D; les droites A,DJ, 

 A 2 D 2 , A 3 D 3 en un même point D'. Les faisceaux D(A,A 2 A 3 ), 

 D'(A,A 2 A 3 ) sont, l'un directement égal, l'autre symétriquement 

 égal à celui de trois parallèles menées par un même point 

 aux côtés du triangle C,C 2 C 3 , que nous supposons de même 

 orientation que A,A 2 A 3 . D est le premier métapôle et D', le second 

 métapôle des triangles A,A 2 A 3 , CiC 2 C 3 . 



D'après la proposition G, les côtés des triangles B^Bs, 

 BjB 2 B 3 sont perpendiculaires, soit aux droites DA n DA 2 , DA 3 , 

 soit aux droites D'A,, D'A 2 , D'A 3 . Donc deux triangles ortho- 

 gonalement affins sont orthologiques (*). 



(*) M. Lemoine a proposé d'appeler triangles orthologiques, deux 

 triangles tels que les perpendiculaires abaissées des sommets de l'un 

 sur les côtés correspondants de l'autre concourent en un même point. 



