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Lorsque les annexes sont des triangles équilatéraux et 

 qu'aucun angle du triangle fondamental n'excède 120°, le 

 point D résout le problème suivant, qui a été proposé par 

 Fermât à Torricelli : Trouver, dans le plan du triangle A,A,A 3 

 le point D qui rende minimum la somme DA, -+- DA 2 -4- DA 3 . 

 C'est pourquoi nous proposons d'appeler figure de Torricelli la 

 figure A.AsAJ^DADlD^DI)'. 



VI. Soient MfM s M 3 , MiM 2 M 3 les triangles antipodaires de 

 A,A 2 A 3 par rapport aux points D, D'; ils résolvent ce problème 

 classique : A un triangle donné A,A 2 A 3 , circonscrire un triangle 

 directement ou inversement semblable au triangle donné C,C 2 C 3 et 

 qui soit maximum. On déduit, de la proposition F, que les côtés 

 des triangles B,B 2 B 3 , BiB 2 B 3 qui résolvent les problèmes A, B, 

 sont respectivement égaux aux demi-sommes et aux demi-diffé- 

 rences des côtés homologues des triangles M,M 2 M 3 , M;M 2 M 3 . 



Voici une autre proposition remarquable : 



I. Lorsque les triangles B 1 B 2 B 5 , B',B 2 B 3 varient en engendrant 

 une série axiale, les points correspondants D, D' sont les extré- 

 mités d'un diamètre variable d'une certaine hyperbole équila- 

 tère. Lorsque ces triangles engendrent une série modulaire, les 

 points D, D' décrivent deux quartiques bicirculaires. 



Les points D, D' sont dits points jumeaux par rapport au 

 triangle A,A 2 A 3 ; ils se correspondent dans une transformation 

 Irrationnelle réversible, dont M. Schoute a fait l'objet d'une 

 étude approfondie. 



VII. Soient V, V les conjugués isogonaux (inverses) des 

 points D, D' dans le triangle A,A 2 A 3 , et soient N,, N 2 , N 3 , Ni, N 2 , N 3 

 les projections de N, N' sur les côtés de A,A 2 A 3 . 



Les triangles N,N 2 N 3 , N;N 2 N 3 résolvent ce problème clas- 

 sique : A un triangle donné A,A 2 A 3 , inscrire un triangle direc- 

 tement ou inversement semblable au triangle donné CjCA et qui 



