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soit minimum. On démontre aisément que les inverses des côtés 

 des triangles B,B 2 B 3 , BiB 2 B 3 qui résolvent les problèmes A, B, 

 sont, respectivement, égaux aux demi-sommes et aux demi- 

 différences des inverses des côtés homologues des triangles N,N 2 N 3 , 



n;i\;n 3 . 



Le théorème suivant est encore assez curieux : 

 /. Lorsque les triangles B,B 2 B 3 , BiB 2 B 3 engendrent une série 

 axiale, les points correspondants V, V marquent une involulion 

 sur un même diamètre du cercle A,A 2 A 3 ; lorsque ces triangles 

 engendrent une série modulaire, les points V, V se meuvent sur 

 deux circonférences concentriques avec la circonférence A,A 2 A 3 . 

 Les points V, V sont dits tripolairement associés par rapport 

 au triangle A,A 2 A 5 ; ils divisent harmoniquement un diamètre 

 de la circonférence A|A 2 A 3 . 



VIII. Le rapprochement des propositions H et J suggère 

 le théorème suivant : 



K. Sur une base fixe GiGs, on construit un triangle G 4 G 2 G 3 

 semblable au triangle podaire du point V par rapport au 

 triangle A,A 2 A 3 : les points V, G 3 se correspondent dans deux 

 figures qui, après un déplacement convenable de Fune d'elles, sont 

 inverses l'une de Vautre. 



Le théorème K peut être démontré directement. Nous en 

 déduisons cette généralisation de la proposition H : 



Soit A une circonférence qui occupe orlhogonalement la circon- 

 férence circonscrite au triangle k { k^k z , et soit A' une circonfé- 

 rence qui rencontre la circonférence AiA 2 A 3 en deux points 

 imaginaires. 



Les triangles podaires des points de A par rapport au triangle 

 A,A 2 A 3 sont les éléments d'une série axiale; ceux des points 

 de A' appartiennent à une série modulaire. Les propriétés des 

 cercles de Schoute se rattachent au dernier théorème. 



