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IX. Les problèmes A , B donnent lieu à des développements 

 analytiques d'un grand intérêt. 



Désignons par a„ a*, a 3 , A,, A 2 , A 3 , A les côtés, les angles 

 et l'aire du triangle AjA 2 A 3 , et posons 



?(«, a)== — a\—aï — o« -*- 2a|aJ -f- 2^a 2 -*- *a\a\, 

 ©(a, 6) s £a»(« + b\ - b\) == SftJ (aï + aï - a\) , 



les variables étant (al, al, al), (a 2 , b\, b\). 



Si BjB^Bs est une projection ou contre- projection de AiA 3 A 3 , 

 on a la relation 



cp(a, a) — 2cp(a, b) -+- ©(6, 6) = 0, 

 d'où l'on déduit 



©fa, 6) _ 

 cos 6 -+- sec 6 = = S (cot A 2 cot B 3 -+- cot B 2 cot A 3 ) , 



2l/©(a,a) . ©(6,6) 



6 étant l'angle des plans AiA a A 3 , BjB 2 B 3 . 



Si le triangle B^Bs doit être semblable à un triangle donné, 

 représentons ses côtés par ub { , ub 2 , w6 3 ; le facteur inconnu u 



a pour valeur u ^ u ' , U 2 et U' 2 étant les covariants 



2B 



\ 



2 



== a\b\ h- a\b\ — 2a 2 a 3 6 2 6 3 cos (A, rb B,). 



\ -, 



- [©(a, b) db l/y (a, 6) —©(a, aï©(6, 6)J 



On démontre facilement que dans la figure de Torricelli : 



b t . A,D, = 6, . AJ) 2 = 6 3 . A 3 D 3 = U, 6. . A.Dj = •• . . = U', 



FF — J F' F' — — 



* 3 " 4B ' ' 3 ~~ 4B ' 



relations d'où l'on peut conclure, en partie, les théorèmes F et G. 



