— XI — 



Les triangles d'une série axiale vérifient les égalités 



mjb\ -+- mjbi -+- m % b\ = 0, ii { cot B, h- n t cot B 2 -+- n z cot B 3 = 0, 



m f ,...,n,, ... étant des constantes; ceux d'une série modu- 

 laire sont caractérisés par les équations 



b\ cot A t -+- o 2 cot A, -4- 6| cot A 3 = 2B (cos ■+- sec 0) , 

 a\ cot B 4 -+- aj cot B 2 -+- a\ cot B 3 = 2A (cos 6 -*- sec 0). 



X. Voici une nouvelle solution, fort élégante, des pro- 

 blèmes A et B. 



Représentons le triangle k { kik z par le point L a dont les 

 coordonnées normales par rapport à un triangle équilatéral 

 fixe XjXîXs sont proportionnelles aux carrés des côtés 

 de AiA 2 A 3 . Soit L b le point qui, de la même manière, repré- 

 sente les triangles B,B. 2 B 3 , B'B 2 B 3 . La droite L L 6 coupe la cir- 

 conférence inscrite au triangle X,X ? X 3 en deux points L ;J , L, qui 

 font connaître les traces A t S, A, S' des plans Q, Q r et leur 

 inclinaison 8 sur le plan AjA^. En effet, 



A 2 A 3 A 3 S(ouA 3 S') SA,(oaS'AJ ? L„L fl L f L a 



COS 8 = 



Pi ]h Ps L,,L b L q L b 



p?» pl, pl étant les coordonnées de L p ou L 9 . 



Suivant que les triangles B,B 2 B 3 , BiB 2 B 3 varient en engen- 

 drant une série axiale ou une série modulaire, le point L 6 qui 

 les représente dans le plan X^A se meut sur une droite ou 

 sur une conique. 



On obtient d'autres représentations d'une série affine et des 

 séries axiales ou modulaires qui la composent, en faisant cor- 

 respondre à un triangle B 1 B 2 B 3 le point L b dont les coordon- 

 nées, par rapport à trois axes rectangulaires, sont égales 

 à &ï, b\, bl, ou le point* h b dont les coordonnées sont égales 

 à cot Bj, cot B 2 , cot B 3 . 



