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XI. La seconde partie du présent Mémoire traite du système 

 de trois figures directement semblables F,, F 2 , F 5 . Les nou- 

 veaux développements que nous exposons ici, ne peuvent 

 qu'augmenter l'intérêt qui s'attache déjà maintenant à ce cha- 

 pitre important de la géométrie récente (*). 



Nous introduisons sous le nom de figure modulaire du sys- 

 tème F,F 2 F 3 une figure extrêmement utile à considérer dans 

 cette théorie. En voici la construction : Par un point quel- 

 conque L, on mène trois droites LL H LL 2 , LL 3 égales et paral- 

 lèles à trois segments homologues de F,, F 2 , F 5 , et l'on 

 construit ensuite le triangle antipodaire LiL 2 U de L,LX 3 par 

 rapport à L. 



Désignons, en général, par P 1? P 2 , P 3 trois points homo- 

 logues de F,, F 2 , F 3 . Une première propriété de ces points est 

 celle-ci : 



L. Le centre de gravité des points P,, P 2 , P 3 chargés de masses 

 proportionnelles aux aires des triangles LL 2 L 3 , LL 3 L,, LL^ esc 

 un point fixe D, appelé point directeur. 



Soit A, le point qui est son propre homologue dans F 2 , F 3 , 

 et soit D, le point correspondant de F,. Les lettres A 2 , D 2 , A 3 , D 3 

 ayant des significations analogues, on peut énoncer la propo- 

 sition suivante : 



(*) Les principaux théorèmes de ce chapitre sont peut-être dus à 

 M. Grouard, qui les a publiés, en 1869-1870, dans YInstitut (Comptes 

 rendus de la Société philomathique de Paris); une analyse du mémoire 

 de M- Grouard se trouve dans la Nouvelle Correspondance mathématique, 

 t. VI, p. 321. M. Tarry a généralisé ces propositions {Comptes rendus de 

 V Académie des sciences, 3 avril 1882) et y a rattaché les propriétés du 

 cercle de Brocard (Mathesis, t. II, pp. 73-76). Pour des cas particuliers 

 remarquables de trois figures semblables, voir Mathesis, t. VI, p. 149, et 

 t. VII, p. 161. 



Les figures semblablement variables ont été étudiées par MM. Bur- 

 mester {Journal de Schlômilch, 1874 et 1878; Civilingénieur, t. XXIVj et 

 Geisenheimer {Journal de Schlômilch, 1879). 



