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M. Les d7*oites A 4 D,, A 2 D 2 , A 3 D 3 passent par D. Les triangles 

 D,A. 2 A 3 , A]D 2 A 3 , A 4 A 2 D 3 sont semblables à LfLgLq et se corres- 

 pondent dans F 4 , F 2 , F 3 ; les circonférences circonscrites à ces 

 triangles passent également par D, et leurs centres E,, E,, E 3 sont 

 les sommets d'un triangle symétriquement semblable à L 4 L 2 L.,. 

 Les points D, L sont des points homologues des triangles sem- 

 blables EiE 2 E 3 , L,L 2 L 3 . 



D|, D 2 , D 3 sont les points adjoints de F,, F 2 , F 3 ; E^Es est le 

 triangle anti-modulaire. 



Les droites A,D, A 2 D, A 3 D rencontrent la circonférence A 4 A 2 A 3 

 en trois points l i3 I 2 , J 3 , qui ont été appelés les points inva- 

 riables, à cause de la propriété suivante : 



N. Tout triple de points homologues P 4 , P 2 , P 3 est perspectif 

 avec le triple l t Uh; le centre de perspective appartient à la circon- 

 férence A (A s A 3 . 



Le triangle I 4 IJ 3 est inversement semblable à L'L^L 3 . 



XII. Les théorèmes L, M, JS sont déjà connus; il n'en est 

 pas de même des suivants : 



0. Trois figures directement semblables F,, F>, F 3 sont tou- 

 jours homologiquement affines à une même quatrième F ; les 

 triangles D,A 2 A 3 , AiD.A^ A,A 2 D 3 , AiA,A 3 sont des éléments cor- 

 respondants des quatre figures. 



P. Soit F 4 une figure semblable à F 4 , telle que les triangles 

 EiE 2 E 3 , DjA^ sont des éléments correspondants, et soient P 4 , P, 

 des points homologues de F 4 , F 4 . Si p 4 , p 2 , p3 désignent les pro- 

 jections de Pi sur les côtés de E,E 2 E 3 , les quadrangles PP 4 P 2 P 3 , 

 PiPiP^Ps sont homothétiques et le rapport de similitude est 

 égal à 2. 



La proposition P est très importante. Elle comporte de nom- 

 breuses conséquences, parmi lesquelles nous faisons ressortir 

 les suivantes : 



Q. Tout triple de points homologues P 4 , P 2 , P 3 est perspectif avec 



