• — XV — 



joignant E 4 aux points de /i des triangles symétriquement égaux 

 au triangle E^D, etc. 



Un déplacement de D ne fait qu'imprimer à chaque trian- 

 gle PiP 2 P 3 une translation parallèle. Lorsque D coïncide 

 avec Ej, tous les triangles P,P 2 P 3 ont le sommet P, fixe en E 4 , 

 tandis que les deux autres se correspondent dans deux figures 

 semblables F 2 , F 3 . 



Deux autres systèmes particuliers de trois figures semblables 

 sont examinés ici pour la première fois, à savoir celui où les 

 trois centres de similitude sont en ligne droite, et celui où le 

 point directeur est à l'infini. 



XIV. Dans les derniers paragraphes de ces recherches, nous 

 étudions la série cr des triangles P 1 P 2 P 3 dont les sommets se 

 correspondent dans trois ponctuelles semblables u { , u^, u z . 

 Celles-ci font partie de trois figures directement semblables F,, 

 F 2 , F 3 , dont on sait déterminer les points doubles A t , A 8 > A 3 , 

 le point directeur D, ... Voici quelques théorèmes intéressants : 



U. Les triangles P t P 2 P 3 sont équipollents aux triangles podaires 

 d'un point mobile sur une certaine droite, le triangle directeur 

 étant l'antipodaire de AiA 2 A 5 par rapport à D. 



Si, sur une base fixe, on construit des triangles semblables à 

 ceux de la série a-, le lieu des sommets est une circonférence, 



V. Les droites P 2 P 5 , P 3 Pi, PiPs enveloppent trois paraboles 

 qui ont deux tangentes communes, faciles à déterminer au moyen 

 des circonférences de M'Cay. 



W. Si deux triangles de la série cr sont orthologiques, il en est 

 de même de deux triangles quelconques de cette série. Le métapôle 

 d'un triangle variable et d'un triangle fixe de a- engendre une 

 droite; celui d'un triangle fixe et d'un triangle variable de a- décrit 

 une hyperbole équilatére. 



La série o- considérée dans la proposition FF peut être appelée 

 série orthologique. Dans le système de trois figures sembla- 



