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Rabattons les plans Q, Q' sur P. A étant un point quelconque 



de F (fig. 1), menons AB, 

 AC perpendiculaires à t, 

 t\ et déterminons sur ces 

 droites les points a, a' tels 

 que 



«B AC 



cos 6 = — = — ; ( I ) 

 AB a'C V ; 



a et a' seront, respectivement, les rabattements de la projection 

 et de la contre-projection de A. Des égalités (1), on conclut que 

 les triangles OBa, a'CO sont semblables; d'où 



Ou 



anale BOa = Oa'C , = cos 6. 



J Ou' 



Donc les figures /', /'' sont, après les rabattements, homothé- 

 tiques par rapport à 0. Toutefois, si l'un des rabattements se 

 fait dans le sens opposé, f et /' deviennent symétriquement 

 semblables. 



Remarques. — I. Le théorème précédent établit, entre les 

 projections et les contre-projections d'une figure plane, une 

 relation très simple, dont l'importance, croyons-nous, n'a pas 

 été suffisamment appréciée. En voici cependant un cas parti- 

 culier, connu depuis longtemps : Toute ellipse peut être projetée 

 et contre-projetée suivant une circonférence de cercle; le plan de 

 la projection passe par le petit axe, celui de la contre-projection 

 passe par le grand axe, et ces deux plans ont même inclinaison 

 sur celui de l'ellipse. 



IL Soient (fig. 1) t, t' deux droites quelconques. Menons AB 

 parallèle à f , AC parallèle à /, et déterminons les points a, a' 

 par les conditions 



AB 



k' = 



a'C 

 AC 



h\ k' étant des constantes. Les points A, a se correspondent 



