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2" On a, pour l'angle caractéristique 0, 



A<M tg D,SS' cot D,S'S 



COS 8 = ; = = . 



AjS' tg A d SS' cot AjS'S 



3° Dans la construction de Gugler, il est indifférent d'em- 

 ployer le triangle DiA 2 A 3 ou son symétrique DJA 2 A 3 par rapport 

 à A 2 A 3 ; on peut aussi substituer aux droites SM, S'M' leurs 

 symétriques par rapport à AjS ou A,S'. 



Ces changements conduisent à une variante de la solution. 

 Les arcs D t S', D|S' étant égaux, A,S' est la bissectrice de 

 l'angle DjA^Î; en prenant, dans la circonférence AiSS', les 

 mesures des angles A,SM, D.SS', SPD,, on voit facilement 

 que B 2 B 3 est perpendiculaire a A,D,. D'après cela : 



Pour transformer par affinité orthogonale un triangle A,A 2 A 3 

 en un triangle E^B.Bj semblable à un triangle donné C 1 C,C 5 , on 

 construit sur l'un des côtés les triangles D^As, DiA. 2 A 3 sembla- 

 bles à CiCoQ; l'axe d'affinité est parallèle à la bissectrice intérieure 

 ou à la bissectrice extérieure de l'angle D t ADi, et le côté cor- 

 respondant à A 2 A 3 est perpendiculaire à l'une ou l'autre des 

 droites AiD, , A,DÎ. 



4. Série axiale. D'un même triangle AiA*A 3 , on déduit, par 

 atiinité orthogonale, une suite doublement indéfinie de trian- 

 gles. Nous dirons que ces triangles sont les éléments d'une 

 série affine, ayant pour triangle directeur A,A 2 A 3 . 



Nous séparons une suite simplement indéfinie, en considé- 

 rant seulement les triangles qui correspondent à un même 

 axe d'affinité A { S, ou, préférablement, à deux axes rectangu- 

 laires AjS, AiS' (axes conjugués). Ces triangles sont les éléments 

 d'une série axiale. 



Lorsque l'angle caractéristique Q est constant, tous les trian- 

 gles correspondants appartiennent à une série modulaire. 



Considérons la série axiale qui se rapporte aux axes d'affi- 

 nité A,S, A|S'. Les triangles désignés dans la solution de 

 Gugler par D,A 2 A 3 , DjA 3 A 3 ont leurs sommets sur la circonfé- 

 rence A circonscrite au triangle A^S'. Soit AJ le symétrique 



