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de A 1 relativement à A 2 A 3 . Si l'on prend A t S pour axe, et que D, 

 parcoure A, le triangle D,A 2 A 3 correspond à une projection ou 

 à une contre-projection de A 1 A 2 A 3f suivant que D, se trouve 

 sur Tare A,S'Aj ou sur l'arc AjSA,. Ces arcs échangent leurs 

 rôles lorsque A,S' devient l'axe d'affinité. 



On peut donc énoncer le théorème suivant : 



Sur une base fixe, on construit des triangles semblables aux 

 projections ou contre-projections d'un même triangle A,A 2 A 3 sur 

 tous les plans qui passent par une même droite du plan A,A 2 A 3 ; les 

 sommets de ces triangles ont pour lieu géométrique une circonfé- 

 rence de cercle dont le centre est. un point de la base fixe. 



Autrement dit : Étant donnés une circonférence A et deux 

 points A 2 , A 3 sur un même diamètre SS', si l'on considère la suite 

 des triangles D^A-j dont le sommet D 4 parcourt la circonfé- 

 rence A, un triangle quelconque A t A 2 A 3 de cette suite est projeté 

 et contre-projeté sur les plans menés par les droites ÀiS, A, S', 

 suivant des triangles semblables à ceux de la suite considérée. 



Remarque. Soient R, R' les plans menés par A, S, A, S' per- 

 pendiculairement au plan A,À 2 A 3 . Le triangle aplati S'A 2 A 3 est 

 semblable à la projection de A d A 2 A 3 sur R, et à sa contre- 

 projection sur R'; de même, le triangle aplati SA 2 A 3 est sem- 

 blable à la projection de A^A-s sur R' et à sa contre-projection 

 sur R. 



5. Série modulaire. Soient N, N' les points de rencontre de 

 la hauteur AjH du triangle A,A 2 A 3 avec les droites SDÎ, S'Dj. 

 On a, pour l'angle caractéristique des triangles AjBJ^, A^Rr, : 



tgjy.ss' nh cotn;ss a,h 



cos 6 = = , COS = • = . 



tg AjSS' A,H cot A,S'S NH 



Donc les points N, N' sont fixes pour tous les triangles d'une 

 série modulaire; les triangles NA 2 A 3 , N'A 2 A 3 font partie de la 

 série et correspondent à l'axe d'affinité A 2 A 3 . L'angle NDjN' 

 étant droit, on a le théorème suivant : 



Si, sur une base fixe, on construit des triangles semblables à 



