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ceux d'une série modulaire, le lieu géométrique des sommets est 

 une circonférence de cercle. 



Réciproquement, étant donnés une circonférence A' et deux 

 points A 2 , A 5î situés sur une droite qui ne rencontre pas A', 

 les triangles DiA 2 A 3 , dont les sommets Dî appartiennent à A', 

 sont semblables aux éléments d'une série modulaire. Sur le dia- 

 mètre N'N, perpendiculaire à A 2 A 3 et rencontrant A 2 A 3 en H, on 

 détermine un point A, par la condition FÂ,= HN.HN' : le triangle 

 directeur de la série est semblable à AjA 2 A 3 , et l'angle caractéris- 

 tique est déterminé par la formule 



UN 



cosô = 



HA, 



V ÏÏN 7 ' 



6. Représentation conforme d'une série affine. Dans la 

 figure 2, les circonférences A qui correspondent aux différentes 

 séries axiales passent par deux points fixes A,, Aj; les circon- 

 férences A' relatives aux différentes séries modulaires, ont 

 même axe radical A 2 A 3 , car leurs centres sont en ligne droite, 

 et HN.HN' = HA,. On peut donc énoncer le théorème suivant : 



Soient donnés deux faisceaux de cercles orthogonaux, (F) et (Y'), 

 c'est-à-dire tels que les cercles de (F) passent par deux points 

 réels A,, Ai, lesquels sont les points-limites du faisceau (¥'). 

 Prenons deux points fixes A 2 , A 3 sur l'axe radical du faisceau (F'), 

 et soit Dj un point mobile. 



Lorsque D, se meut sur une circonférence quelconque de (F), le 

 triangle D 4 A 2 A 3 reproduit les éléments d'une série axiale ayant 

 pour triangle directeur A t A 2 A 3 ; lorsque D, se meut sur une circon- 

 férence de (F'), le triangle D 4 A. 2 A 3 reproduit les éléments d'une 

 série modulaire ayant le même triangle directeur A,A 2 A 3 . 



Il est bien entendu que l'on considère seulement la forme 

 des triangles d'une série affine. 



7. Série modulaire 'inscrite a une ellipse. Faisons tourner 

 le triangle A 1 A 2 A 3 , dans son plan, autour du centre du cercle 

 circonscrit, et projetons-le, dans toutes ses positions, sur un 

 plan fixe Q. Les projections R^Bs sont les éléments d'une 



