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Désignons par E 4 , E 2 , E 3 , E|, E;, E 5 les centres des circon- 

 „. a férences circon- 



Fiç. b. 



scrites aux an- 

 nexes ; E,E 2 E 3 , 

 E,'E;E; sont les 

 triangles de Lion- 

 net. Les circon- 

 férences E,, E 2 , 

 E 3 et les droites 

 A 1 D,,A 2 D 2 ,A 3 D 3 

 se coupent en un 

 même point D(*); 

 pareillement, les 

 circonférences 

 Ei, E;, E 3 et les 

 droites A^', , 

 A 2 D;, A 3 D' 3 se 

 coupent en un 

 même point D'. 

 D est le premier 

 métapôle des tri- 

 angles AjAaAs, 

 CiC 2 C 3 ; D' est leur second métapôle. 



Soient M 4 , M 2 , M 3 , M[, M 2 , M 3 les secondes extrémités des 



O En effet, si D désigne le point d'intersection des circonférences E â , E 3 , 

 les égalités A t DA 3 -+- A,D 2 A 3 = -, A,DA a -+- A,D a A a = ic, entraînent celle-ci : 

 A 2 DA 3 -+- AgD^g^it; donc la circonférence E t passe par D. On a ensuite : 

 AJDAçjH- A t DD t = (tt — D 3 ) -h A 2 A s Dt = TC Î par conséquent A X D et DD t ne 

 forment qu'une seule ligne droite. 



Supposons les triangles A^A-, C^C- semblablement orientés. Menons 

 par un même point des parallèles aux côtés de C,C 2 C 3 ; elles forment un 

 faisceau que nous disons associé au triangle C t C,C 3 . Ce faisceau est 

 directement égal au faisceau D(A 1 A 2 A 3 ), et inversement égal au faisceau 

 D^A^jAg). Si l'on transforme par polaires réciproques le triangle A t A 2 A 5 , 

 en prenant pour centre du cercle directeur, soit D, soit D', on obtient un 

 triangle semblable à CiCaCs. A cause de cette propriété , nous proposons 

 d'appeler D, D' les mé tapotes des triangles AiA â A 3 , Cfi^. 



