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diamètres DE,, DE,, DE 3 , D El, DE,, D'E 3 des circonférences 

 circonscrites aux annexes. On voit aisément que les côtés des 

 triangles M,M 2 M 3 , M;M.M 3 passent par A n A,, A 3 et sont perpen- 

 diculaires aux droites A,D, A 2 D, A 3 D, A,D , A 2 D , A 3 D'; plus 

 simplement dit, M,M 2 M 3 est le triangle antipodaire de D par 

 rapport à A,A 2 A 3 , et MiM 2 M 3 est celui de D'. 



L'angle DD,M, étant droit, D,M, est parallèle à M 2 M 3 - Donc 

 les droites A,D, , A 2 D 2 , A 3 D 3 sont égales aux hauteurs du trian- 

 gle M,MïM 3 0; les droites AjD;, A 2 D 2 , A 3 D 3 sont égales aux 

 hauteurs de M'.M'.M',. 



D est le centre d'homothétie de M,M 2 M 3 , E,E 2 E 3 ; D', celui 

 de MiM 2 M 3 , E' t E 2 E 3 . Le rapport de similitude est égal à 2. 



Nous dénoterons par BjB 2 B 3 , B|B 2 B 3 les deux triangles qui 

 sont semblables à un triangle donné C,C 2 C 3 et sont orthogona- 

 lement aflins à A,A 2 A 3 ; par t, t' , les axes d'atiinité correspon- 

 dants. Ces axes ont des directions connues; mais leur position 

 peut rester indéterminée. D'après ce qui a été démontré aux 

 q os 3 et 9 : 



1° Les axes t, t' sont parallèles aux bissectrices des angles 

 D 1 A 1 Di,D.ÂD;,D 3 A 3 D:; 



2° Les côtés des triangles B,B 2 B 3 , BjB 2 B 3 sont perpendiculaires, 

 soit aux droites AiDi, A 2 D 2 , A 3 D 3 , soit aux droites A,D', A,D 2 , A 3 D 3 ; 



3° Les hauteurs de B,B 2 B 3 sont égales à 



^AA-AJ);), i(A 2 D,-A 2 D 2 ), i(A 3 D 3 -A 3 D 3 ); 



celles de BjB 2 B-, égales à 



1 1 1 



- (A t D, + AA). 5 (A 2 D 2 -4- a 2 d;), - (A 3 D 5 + a 3 d:). 



(*) Cette propriété est connue, au moins dans le cas où les annexes 

 sont des triangles équilatéraux; voir, par exemple, Annales de Gergonne, 

 1. 1, p. 318. 



