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p. 43, et t. XX, p. 300, Lhuilier, Tédenat, un abonné, Sturm 

 et Gergonne ont traité ce problème. M. Catalan l'a introduit 

 dans ses Théorèmes et problèmes , 6 e édition, p. 228; M. Des- 

 boves, dans ses Questions de Géométrie, p. 160. La discussion 

 complète a été donnée par Steiner ( OEuvres complètes, t. Il, 

 pp. 16, 95 et 729) et par M. Bertrand {Journal de Liouville, 

 t. MU, p. 158). 



Supposons les annexes D,A 2 A 3 , ..., de forme quelconque, 

 et soient m,, m 2 , m 3 des nombres positifs proportionnels à A a A 3 , 

 A 3 D,, D,A 2 . Si le point D tombe à l'intérieur du triangle A,A 2 A 3 , 

 il rend minimum la somme m,.DA, -+- m 2 .DA 2 -t-m 3 .DA 3 . Voici 

 la démonstration de ce théorème, imitée de celle que Steiner 

 en donne dans l'hypothèse m, = m. 2 = m- . SoitM,M 2 M 3 le triangle 

 antipodaire de D par rapport à A,A 2 A 3 , et soient LL,, LL 2 , LL- 

 les distances d'un point quelconque L à M 2 M 3 , M 3 M,, M,M 2 . 

 De l'égalité 



aire AJ,M 2 M 3 = I)>I 2 \I 5 -h DM 3 M, -+-DM,M 2 = LL 2 L 3 -f- LL 3 L,+ LL.U 

 on déduit 



m,. DA, -t- m s . DA 2 -*- m 3 .DA 3 =m, . LL,-f- m 2 LL 2 + iw 3 . LL 3 , 

 et comme LL, < LA,, LL 2 < LA 2 , LL 3 < LA 3 , on a 



m { . DA, -+- m 2 . DA 2 -+- m 3 .DA 3 < m t . LA, 4- w 2 . LA 2 -+- w 3 .LA 3 , 



ce qu'il fallait démontrer. 



Un problème intéressant est celui de construire le tri- 

 angle A,A.,A 3 , connaissant les triangles D,D 2 D 3 , C^G;. Le cas 

 où C,C 2 C 3 est équi latéral a été proposé par M. E. Lemoine 

 (Nouvelles Annales, 1869, p. 42); nous avons proposé le cas 

 général aux lecteurs des Wiskundige Opgaven (t. II, n° 196). 

 M. Gob a observé que les triangles A,A 2 A 3 , D,D,D 3 sont les trian- 

 gles podaires du même point D par rapport au triangle M,M 2 M 3 

 et à l'anticomplémentaire de ce dernier (triangle qui a pour 

 côtés D,M,, D 2 M 2 , D 3 M 3 ). Cette remarque l'a conduit à une 

 nouvelle solution du problème énoncé ci-dessus. 



