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Donc il existe deux triangles B,A 2 B 3 , B;A 2 B 3 , dont les sommets 

 sont situés, respectivement, sur les parallèles ( u,, uu, u 3 , ou 

 v,, v-2, v 5 , dont les cotés sont parallèles à ceux de E,E 2 E 3 et 

 égaux à EJE 3 =f E 2 E;, E-E, =p E 3 E',, E,E 2 qr E;E: 2 . Ces triangles 

 répondent aux problèmes de Simon Lhuilier. 



12. Triangles antipodaires. Supposons les triangles A,A 2 A : , 

 C,CX 3 semblablement orientés. 



On peut circonscrire à A,A 2 A 3 une infinité de triangles 

 directement semblables à C,C 2 C 3 ; leurs sommets se meuvent 

 sur les circonférences E,, E 2 , E 3 , et D est son propre homo- 

 logue dans deux quelconques de ces triangles. Le triangle 

 maximum de cette suite est M,M 2 M 3 ; le triangle minimum a 

 ses côtés dirigés suivant les droites DA, , DA 2 , DA 3 , et se réduit 

 au point D. 



Pareillement, on peut circonscrire à A,A 2 A 3 une infinité de 

 triangles inversement semblables à CiC 2 C 3 ; leurs sommets 

 appartiennent aux circonférences Eî, E 2 , E 3 , et D' est un centre 

 de similitude de ces triangles. MjM 2 M 3 est le triangle maximum 

 de cette suite; le triangle minimum a ses côtés dirigés sui- 

 vant D'A,, D'À*, D'A 3 . 



Les points D, D' sont les sommets de deux faisceaux symétri- 

 quement égaux, D(A,A 2 A 3 ) et D'(A,A 2 A 3 ). Pour caractériser la 

 relation qui existe entre ces points, nous dirons, avec M. Artzt 

 (Programme de Recklinghausen, 1883), que ce sont des points 

 jumeaux {*). M|'M*M S| M',M 2 M 3 sont des triangles antipodaires 

 jumeaux. 



Convenons de désigner par a t , a 2 , a z , A, , A 2 , A 3 , A les côtés, 

 les angles et l'aire du triangle A,A 2 A 3 , et employons des nota- 

 tions analogues pour les triangles B t B 2 B 3 , EtEoEs, .... Les rela- 



(*) Les points jumeaux ont été étudiés par M. VandeNberg (Mctur 

 Archief voor Wiskunde, deel VII, pp. 78-90, et Mathesis, t. II, p. 120 et 

 t. VII, p. 118» et par M. Schoute (Nieuw Archief, t. IX, pp. 117-140, 

 et Bulletin de Darboux, 1882 , p. 160). Les coordonnées barycentriques 

 des points D, D' sont inversement proportionnelles aux quantités 

 cot A l ± cot C, , cot A , ± cot C 2 , cot A 3 ± cot C 3 



