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circonscrits aux triangles VN 2 N 3 , V'NJNJ; d'où N 2 N 3 =VA, sin A„ 

 N^N£= V'Aj sin A^ Par conséquent : 



VA, VA 2 VA 3 _w, 

 VA,"" \%" \%~^[' 



Donc les distances de V aux sommets du triangle A,A 2 A 3 sont 

 proportionnelles à celles de V aux mêmes sommets; à cause 

 de cette relation, les points V, V sont dits tripolairement 

 associés. Soient U, U' les points qui divisent la distance Y Y', 

 additivement et soustractivement, dans le rapport rç, : ni ; les 

 points A lf A 2 , A 3 appartiennent à la circonférence décrite 

 sur UU' comme diamètre. Autrement dit, V et V divisent en 

 parties harmoniques un diamètre du cercle A,A 2 A 3 . 



On peut établir directement la réciproque, en s'appuyant 

 sur le lemme suivant : La droite qui joint les projections d'un 

 point Z sur les côtés d'un triangle XOZ, est perpendiculaire à la 

 symétrique de la droite OZ par rapport à la bissectrice de 

 l'angle XOZ. En vertu de ce lemme, si U,, U 2 , U 3 , U',, U 2 , U 3 

 sont les projections des points U, U' sur les côtés du tri- 

 angle A,A 2 A 3 , les droites N,N 2 , N',N 2 , U,U 2 sont perpendicu- 

 laires aux symétriques des droites A 3 V, A 3 V, A 3 U par rapport 

 à la bissectrice de l'angle A 2 A 3 A,. Mais, à cause de la division 

 harmonique UU'VV, A 3 U est la bissectrice de l'angle VA 3 V; 

 par suite, les côtés homologues des triangles N,N 2 N 3 , N;N' 2 i\ 3 

 ont des directions symétriques par rapport aux droites UjUo, 

 U;U«, et ces triangles sont symétriquement semblables. 



Il y a plus : les droites U,U 2 , UiU 2 divisent les distances N,Ni, 

 NJN 2 , N 3 N 3 , additivement et soustractivement, dans le rap- 

 port UV : UV = », : n\\ ce sont donc les droites doubles des 

 triangles inversement semblables, N,N 2 N 3 et N|N 2 N 3 , et leur 

 point de concours D" est le point double de ces triangles * . 

 On verra (n° 17) que D" est au milieu de la droite DD\ 



(*) Dans les triangles semblables N t N 2 N 3 et N;N;N1, le point V et le 

 jumeau de V sont des points homologues. 



