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16. Lieux des points V, V. Les triangles associés B,B 2 B 3 et 

 B;B 2 B 3 , d'une série affine, qui sont semblables à un môme trian- 

 gle donné C,C 2 C 3 , se déduisent très simplement, ainsi qu'on l'a 

 vu, des deux triangles antipodaires jumeaux M,M 2 M 3 et M',M 2 M3, 

 ou des deux triangles podaires associés N,N 2 N 3 et NîNiNJ; qui 

 sont semblables au même triangle C,C â C 3 . C'est pourquoi nous 

 dirons que les triangles B,B.;B 3 , BiB 2 B 3 sont représentés, soit 

 par les points jumeaux D, D', soit par les points tripolairement 

 associés V, V. 



Les théorèmes suivants se déduisent facilement du § 15 : 



Les couples de triangles associés d'une série axiale sont repré- 

 sentés par les couples de points V, V qui divisent harmoniquement 

 un diamètre fixe de la circonférence circonscrite au triangle direc- 

 teur.. Les axes d'affinité correspondants sont parallèles aux droites 

 de Simson des extrémités du diamètre fixe. 



Les couples de triangles associés d'une série modulaire sont 

 représentés par des couples de points V, V qui parcourent deux 

 circonférences concentriques avec la circonférence circonscrite au 

 triangle directeur. 



Pour démontrer le dernier théorème, on observe que les 

 triangles B,B 2 B 3 , BiB 2 B 3 ayant des aires constantes, il en est de 

 même des triangles N,N,N 3 , N;N 2 N 3 ; de plus, l'aire N N,N 3 

 est proportionnelle à la puissance de V par rapport au cer- 

 cle A,A 2 A 3 (•*). 



Remarque. Soient le centre du cercle A,A 2 A 3 , X le point 

 de contact de la tangente issue de V. On a, successivement, 



1 1-cosâ y/B'—\/B 

 * 2 1-4-eosô i/B'-hv/ 



1 



B * /W . /N VX 

 -=\/— = Y/— = — =cosXOV, 



iç 2 -XOV=cos9. 



O Ce théorème a été démontré par Querret et Sturm, dans les Annales 

 de Gergonne, t. XIV, pp. 280 et 286. L'aire du polygone qui a pour 

 sommets les projections d'un point sur les côtés d'un polygone donné, a 

 été considérée par Sturm 'Annales de Gergonne, t. XIV, pp. 45 et 250 j, 

 Lhuilier {Bibliothèque universelle, 1824, p. 169) et Steiner (Gesammelte 

 Werke, 1. 1, pp. 7, 15 et 139). 



