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17. Lieux des points D, D'. En transformant par inversion 

 triangulaire les lieux des poins V, V, on trouve les proposi- 

 tions suivantes : 



Les points D, D', qui correspondent aux éléments d'une série 

 axiale, décrivent une hyperbole équilatère H 2 , circonscrite au 

 triangle directeur. 



Aux éléments d'une série modulaire correspondent des 

 points D, D' mobiles sur deux quartiques bicirculaires (*). 



Il est intéressant de déterminer les éléments principaux de 

 la conique H 2 . Les deux faisceaux D(A,A 2 A 3 ), D'(A,AeA g ) étant 

 symétriques, D et D' sont les extrémités d'un diamètre d'une 

 hyperbole équilatère passant par A,, A 2 , A 3 et ayant ses asymp- 

 totes parallèles à / et t'. Lorsqu'il s'agit d'une série axiale, 

 / et V sont fixes; donc l'hyperbole A,A 2 A 3 DD' a, outre les 

 points A,, A 2 , A 5 , deux autres points fixes à l'infini sur /, V . Elle 

 est donc fixe; c'est la courbe H 2 . D'autre part, si U,U 2 U 3 , L T ',UX T 3 

 sont les droites de Simson des extrémités du diamètre W de 

 la circonférence A f A 2 A 3 , les points Ui et Uj, U 2 et U 2 , U 3 et U 3 

 sont équidistants des milieux des côtés correspondants du 

 triangle A,A 2 A 3 ; donc les droites U,U 2 , UiUâ sont les asymptotes 

 d'une même hyperbole circonscrite à A|A 2 A 3 . Ces droites étant 

 parallèles à /, /', la dernière hyperbole est identique à H 2 (**). 



11 est démontré par là que les droites U,U 2 , U',U 2 se coupent 

 au milieu de DD'. 



Remarque. Soit S le centre d'homothétie des triangles E,E 2 E 3 

 et NiN 2 N 3 , et soit SiS 2 S 3 le triangle podaire de S par rapport 



(*) Le lieu d'un point dont le triangle antipodaire par rapport à un 

 triangle fixe a une surface constante, a été traité analytiquement par 

 Stein, ancien élève de l'École polytechnique (Annales de Gergonne, 

 t. XV, p. 69). 



C) Comparer : Artzt, Programme de Recklinghausen, 1886; Brocard, 

 Hyperbole des neuf points (Journal de Math, spéc, 1884-1885); Mathesis, 

 t. II, p. 226, et t. VII, p. 190; Nieuw Archiefvoor Wiskunde, deel VII, 

 p. 78 (Van den Berg) et deel IX, p. 117 (Schoute); Bulletin deDarboux, 

 1873. pp. 206-240 (Dewulf;, et 1882, p. 152-168 iSchoute). 



