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Par conséquent, étant donné un quadrangle complet, les trian- 

 gles podaires de chacun des sommets par rapport au triangle des 

 trois autres sommets sont semblables entre eux; les côtés d'un tel 

 triangle podaire sont proportionnels aux produits des côtés opposés 

 du quadrangle. 



Soient, ensuite, C,, C 2 , C 3 les homologues de A„ A,, A 3 dans 

 une transformation par rayons vecteurs réciproques, le pôle 

 de transformation étant placé en A ; pour abréger le discours, 

 on pourrait dire que C,C 2 C 3 est le triangle métaharmonique (*) 

 de A,A 2 A 3 par rapport à A. On trouve aisément, par la considé- 

 ration des quadrilatères cycliques AB,A 2 B 3 , A 2 A 3 C 2 C 3 , ..., que 



angle AB t B 3 = AA 2 A, = Af 3 C 2 , . . . 



Par conséquent, les triangles B,B 2 B 3 , dCA sont semblables, 

 et A est son propre conjugué isogonal dans ces triangles (**). 



Ainsi, les quatre triangles podaires et les quatre triangles méta- 

 harmoniques déduits d'un même système de quatre points sont 

 semblables entre eux. 



En particulier, étant donné un triangle A,A 2 A 3 , le triangle 

 podaire d'un point A, que nous supposons mobile, est toujours 

 semblable au triangle qui a pour sommets les inverses A 2 , A 3 , A' 

 des points A 2 , A 3 , A, le pôle d'inversion étant placé en A,. Les 

 points A 2 , A 3 étant fixes, le théorème énoncé ci-dessus est 

 démontré. 



Remarque. Soient B|, B 2 , B 3 , B les inverses de A,, A 2 , A 3 , A 



par rapport à un pôle quelconque. On démontre facilement 

 Mémoire sur le tétraèdre, p. 40) que 



B,B 2 . BgB _ B,B 3 . B 2 B _ B,B . B 2 B 3 

 A â A 2 . A 3 A A,A 3 . A 2 A AjA . A 2 A 3 



O Lorsqu'on prend pour C„ C„ C 3 les secondes rencontres C;, C 2 , C; des 

 droites AA 15 AA 2 , AA 3 avec la circonférence A,A 2 A 3 , les triangles C'.CX;, 

 A,A 2 A 3 se correspondent dans une homologie harmonique; de là, le terme 

 métaharmonique que nous proposons ici. 



O Voici le sens de cette expression : si A' est le conjugué isogonal 

 de A dans B^Bs , A et A' sont des points homologues des triangles 

 CiC 2 C 8 , BiBjBj. 



