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L'équation v{a, a) = représente la circonférence qui touche 

 les cotés de X 4 X 2 X 3 en leurs milieux Y,Y 2 Y 3 . Les points de cette 

 courbe correspondent à des triangles aplatis; pour les points 

 des plus petits arcs sous-tendus par les cordes Y 2 Y 3 , Y 3 Y,, Y, Y.,, 

 on a respectivement 



a { = a. 2 -+- o 5 , a 2 = a- h- </,, a z = «, -+- a 2 . 



Les triangles proprement dits sont représentés par les points 

 intérieurs au cercle Y,Y 2 Y 3 ; les triangles rectangles en A,, par 

 les points de la droite Y 2 Y 3 ; les triangles acutangles par les 

 points intérieurs au triangle Y,Y 2 Y 3 , etc. Les points extérieurs 

 au cercle correspondent à des triangles imaginaires. La circon- 

 férence Y,Y 2 Y 3 , pour un motif qui ressort de ce qui précède, 

 sera appelée circonférence de transition. 



Soient L„, L b les points représentatifs des triangles A,A 2 A 3 , 

 B,B 2 B 3 . Si l'on porte, dans la fonction ©(a, «), les coordonnées 

 absolues de L , L 6 , les résultats sont proportionnels aux puis- 

 sances tu,, T. b de ces points par rapport au cercle de transition; 

 d'où 



*■«__ ts 2 « 



Lorsque L b coïncide avec le centre X du triangle de réfé- 

 rence, on a -( = — { h 2 , j3 = 30° ; par suite, T. a = — f îr tg ? a. 

 Il suit de là que les triangles de même angle de Brocard a sont 

 représentés par les points d'une circonférence dont le centre est X 

 et dont le rayon est égal à £ h l/l — 3 tg'a. 



22. Covàriants de ç (a, a). Désignons par o (a, b) la forme 

 polaire de cp(a, a), rapportée aux deux systèmes de valeurs [a], ...), 

 (b' t1 ...), de sorte que 



9 {a, b) = S6Î,4 (a, a) = Sâff, (6, h) = — ^«?&î + I («i>>S -t- «M). 



Si sj, *£, ** sont les coordonnées d'un point L r , mobile dans 

 le plan X,X 2 X 3 , l'équation <p(a, ») = représente la polaire /„ 



