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Prenons pour la tangente la droite L a L b ; alors on peut poser 



h == a \bi^ay>l l,s aîb\-ay>l h s a\b\ - u\h\ , (8) 



et pour qu'il y ait contact, le discriminant de (7) doit être nul. 

 Cette remarque conduit à l'identité 



?*{«, (>) — ï{aa)f(bb)~3— 4 (> 2 >. 3 -+- V-i +■ *ih)-. 

 les *A ayant la signification (8); par suite, la fonction 



). 2 A 5 -+- ) 5 ) | -+- i^ 



a une valeur négative lorsqu'elle est rapportée à deux triangles 

 proprement dits (*). 

 ty(\ a) est le contrevariant de cp(a, a). 



IV. 



Développements analytiques. 



24. Caractère analytique d'une série affine. Soit B,B. 2 B 3 une 

 contre-projection de A,A 2 A 3 . On trouve facilement les égalités 



6Î = Ô|+ (A 2 B 2 - A,B 5 )\ ..., 

 d'où 



Vb\ — «î d= l/6f — «I ± I^jJ — «s = 0. (9) 



Si B,B,B 3 est une projection de A,A 2 A-, il suffit de permuter, 

 dans la dernière équation, les lettres a et b, ce qui n'apporte 

 pas de changement essentiel. 



De l'équation (9), on tire, en isolant le premier radical, 



4 (ta - b\\ {al - bl) = (al + al- a\ — b\ — b\ + b*>\ 

 ou 



(aï _ \>\ , (al - bl) = (a 2 a 3 cos A , - 6 â 6 5 cos B,) 2 . ( 1 0) 



Chacune des relations (9), (10) peut servir à caractériser la série 

 affine, dérivée du triangle A,A 2 A 3 . 



O Jacobi a établi cette proposition par l'analyse {Journal de Crelle, 

 t. LXXVH,p. 193). 



