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Des égalités (16) et (17), on déduit 



6J.AJ), ef.AJ), i 



donc A,D, est le double de la hauteur du triangle E,E 2 E 3j ainsi 

 que nous l'avions trouvé plus haut (§ 10). 



III. On vient de trouver 



U U' 



AA = r , A 1 Di = — . (18) 



Dans ces égalités, supposons h*! = a { . Alors a 2 , ch sont les coor- 

 données bipolaires de Ai par rapport aux pôles A 3 , A 2 ; fc 2 , b z sont 

 celles de D, ou Dj. Les formules (18) font donc connaître la 

 distance de deux points, en coordonnées bipolaires. Elles 

 sont une forme particulière de la relation entre les distances 

 mutuelles de quatre points situés dans un même point. 



25 bis . Nous croyons intéressant de résumer ici quelques 

 travaux, déjà anciens, qui se rapportent à notre sujet. 



a. Étant donné le triangle A, A 2 A 3 , soit proposé d'en chercher 

 une contre-projection B^.Bs, qui soit semblable à un triangle 

 donné. 



Nous supposons que le point B, coïncide avec Ai . Menons A, Z 

 perpendiculaire au plan A,A 9 A g , et prenons pour inconnues 

 du problème les angles ZAjB 2 = x , ZA,B 5 = y. Appliquant 

 la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique au 

 trièdre A^Bol^, nous aurons 



cos B t = cos x cos y ■+■ sina: sin?/ cos A,. 



Le rapport des côtés A^ , A,B 5 est une quantité connue m ; 

 d'où une seconde équation en x, y, à savoir : 



a- slny = mo 2 sinx. 



Cette solution est due à Simon Lhuilier (Annales de Ger- 

 gonne, t. II). 



