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donc, après suppression du facteur ,3 2 -t- (3 3 , l'équation (32') se 

 réduit à 



re, -+- Âfa -+- cp s -*- 2D = o. 



Ainsi, quand on fait usage des trois coordonnées j3 n (3 2 , j3 3 , 

 entre lesquelles existe l'identité (33), toute circonférence peut 

 être représentée par une équation du premier degré (*). Réci- 

 proquement, l'équation 



n.p, -*- n 2 S 2 + «03= w, 



caractérise une circonférence, réelle ou imaginaire. Le centre 

 est sur la droite B 2 B 3 , si n^ = 0; cette droite rencontre la cir- 

 conférence en des points imaginaires, si 



?if > — Snî + 2Ew,w 2 >0. 



Ces deux hypothèses sont celles où le triangle variable B,B 2 B 3 

 reproduit, respectivement, les éléments d'une série axiale et 

 ceux d'une série modulaire. 

 b. Soient 



C r == x- -*- y 1 — 2* r T — 2j3 r i/ h- y r = 0, (r = 1 , 2, 5, 4) 



les équations de quatre circonférences n'ayant pas un même 

 centre radical. Nous pouvons considérer les quantités C, , C 2 , 

 C 3 , Ci comme étant les coordonnées du point {x, y). Ces coor- 

 données, surabondantes, sont liées par deux identités. 



Une circonférence quelconque est représentée par une équa- 

 tion homogène du premier degré 



wîjC, -+- mî 2 C 2 ♦- w 5 C 3 -+- >/? ; C. v = 0. 



En particulier, on peut prendre pour C d , C 2 , C 3 les carrés 

 des distances du point L(x, y) à trois points fixes A,, A 2 , A 3 , et 



(*) Cette remarque est peut-être nouvelle. 



Les coordonnées biangulaires (3. 2 , % ont été étudiées par M. Folie (Fon- 

 dements d'une géométrie supérieure cartésienne, pp. 62-67), par M. Walton 

 {Nouvelles Annales, 1872, pp. 122-135) et par M. Genèse (Companion to the 

 Weekly Problem Paper s, pp. 79-89). 



