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Pour démontrer cette solution, désignons par a f , ft 2 , a 3 , 

 />,, /;.,, b z les côtés des triangles A,A 2 À 3 , A,B,B-, et par;; d , p 2 ,p- 

 les projections de A 2 A 3 , A 3 A,, A 3 A 2 sur la droite A,S'. Nous 

 avons vu (§ 24) que 



b\=*a\+{k*-\)p\, bl=.a\+(lf-\)pl, 61 -=(^ + (F- !)/>!, (34) 



^- -&-£■■. (35) 



A 2 A 3 A 3 S SA 2 



Des égalités (34), on conclut que les points (frf, &?, & 3 ), 

 (rtf, ai, af), (p 2 , jo 2 , p|) sont en ligne droite et que le premier 

 est situé entre les deux autres ou en dehors, suivant que l'on 

 a À' > 1 ou À: < 1 ; comme le point {pi, pi, pi) représente le 

 triangle aplati A,y 2 y 3 , il se confond avec L p ou avec L, n suivant 

 que AiB.,B 3 correspond à une contre-projection ou à une pro- 

 jection de A,A. 2 A 3 . La figure ci-jointe se rapporte à la première 

 hypothèse. 



Les proportions (35) servent à déterminer le point S; celui-ci 

 tombe sur A 2 A 3 , sur le prolongement de A 2 A 3 ou sur celui 

 de A 3 A 2 , suivant que le point L p est situé sur l'un des arcs Y 2 Y 3 , 

 Y 3 Y, ou Y,Y 2 . 



Représentons maintenant par (ub { , ub 2 , ub 5 ), (u'bi, it'lh, u'b- ) 

 les côtés de la projection et de la contre-projection de A,A 2 A 3 , 

 qui sont semblables à un triangle donné; soient aussi {p\,p 2 ,p z \ 

 (</u (Zsj ?s) les projections des côtés de A,A 2 A 3 sur les axes A,S', 

 A,S. Les formules (34) sont remplacées par celles-ci : 



(fc 2 — 4)pï = M' 2 6ï — al ..., (36) 



/' 1 



^~4j^ï = w 2 6î~aî, (57) 



et l'on sait que le module k = -, (§ 2). Les coordonnées des 

 points L a , L,,, L /0 L y étant, respectivement, proportionnelles 

 aux quantités (ftî, ..),(«?, ....), {u'M— a}, ...),(u l b\ — a\, ...), 

 les quantités u' f , u 2 ne diffèrent que par un même facteur des 

 rapports L,,L a : L^L^, L 7 L a : L,L 6 . Il suit de là que 



r 2 _ u ~ LpL a _ L 9 L a 



w' a L..L/. LJ 



lJ q< b 



