Considérant les quadrilatères cycliques LLâ'L^, LL,L 3 L 2 , 

 on trouve 



angle LL 2 L 3 = LL,L 2 =LL£LÎ, angle LL 2 L; ' = LL 3 L 2 = LLjL.:, ..., 



d'où angle L 3 L 2 L; = «ic — L 3 LL; , .... Donc le triangle L';L 2 L 3 est 

 semblable au triangle antipodaire de L par rapport à L;L 2 L 3 . 



Appelons faisceau associé à un triangle le faisceau des paral- 

 lèles menées aux côtés de ce triangle par un même point. Nous 

 pourrons dire que le faisceau associé au triangle de similitude 

 A,A 2 A 3 est symétriquement égal au faisceau L(LiLiLi) de la figure 

 modulaire. 



41. Triple invariable. Nous aurons souvent à appliquer la 

 remarque suivante : le faisceau associé à un triangle est symé- 

 triquement égal à celui des droites joignant les sommets du trian- 

 gle à un point de la circonférence circonscrite. 



Elle nous permet, d'abord, de définir la position de D par 

 rapport à A,A 2 A 3 . Ce point étant sur la circonférence D,A 2 A 3 , 

 le faisceau B(kiX. 2 A z ) est symétriquement égal au faisceau associé 

 au triangle modulaire; propriété qui résulte également de ce 

 que les rayons du faisceau D(A,A.,A 3 ) sont perpendiculaires 

 aux côtés du triangle antimodulaire EjE 2 E 3 . 



Les seconds points de rencontre des droites DAj, DA 2 , DA : 

 avec la circonférence de similitude ont été appelés les points 

 invariables du système FiF 2 F 3 ; nous les désignons par les 

 lettres I,, I 2 , I 3 . 



Les faisceaux Ij (D,A 2 A 3 ), L (A,D 2 A 3 ), I 3 (A,A 2 D 3 ) sont symétri- 

 quement égaux au faisceau associé au triangle AiA 2 A 3 ; ils sont 

 donc directement égaux au faisceau L(LiL 2 L 3 ) de la figure 

 modulaire. Il résulte de là que les points invariables sont des 

 points correspondants du système FiF 2 F 3 , comme étant des 

 points homologues dans les triangles annexes. 



Ii, U se correspondent dans F, , F 2 , et A 3 est le point double ; 

 par suite, le triangle A 3 I,I 2 est semblable à LL,L 2 , et angle 

 I,I 3 I 2 = L: 2 L 3 L;. On voit que le triangle invariable \ t hh est symé- 

 triquement semblable au second triangle modulaire. 



