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Au moyen des triangles semblables A 3 I,I 2 , LL,L 2 et des qua- 

 drilatères cycliques A 3 I,I 2 I 3 , LL,L 2 L 3 , on trouve 



«7?^/eA 3 T l I 2 = ^ 3 l 3 l 2 =LL,L, = LL 3 L;, angle A 3 f 3 l.= LL 3 L;. 



Ces relations montrent que les points D, Lsont conjugués isogo- 

 naux dans les triangles semblables IJ 2 I 3 , LjL£L£ (*). Par consé- 

 quent, les distances de D aux côtés de I,IJ 3 sont inversement 

 proportionnelles à 1,, 1 2 , 1 3 . 



La dénomination de points invariables est due à la propriété 

 suivante : Tout triple de points homologues P,, P 2 , P 3 du système 

 F,F 2 F 3 est perspectif avec le triple IJJ3, d /g /?>w du centre de 

 perspective est la circonférence de similitude. Pour démontrer ce 

 théorème, observons que les droites P,I, , P 2 I. 2 , P 3 I 3 , étant des 

 éléments homologues du système F, F 2 F 3 , forment, deux à deux, 

 des angles égaux à ceux du triangle L|L 2 L 3 ; donc elles sont les 

 rayons d'un faisceau symétriquement égal au faisceau associé 

 au triangle IJJ 3 . 



Réciproquement, les droites joignant un point quelconque de 

 la circonférence de similitude aux trois points invariables sont 

 des lignes homologues du système F|F 2 F 3 . Car elles passent par 

 trois points homologues I,, I*, I 3 et sont les rayons d'un faisceau 

 directement égal au faisceau associé au second triangle modu- 

 laire. 



42. Triples de droites homologues. Dans le système de 

 trois figures semblables, y a-t-il d'autres droites homologues 

 concourantes que celles qui joignent les points invariables à 

 un point de la circonférence de similitude ? 



Pour répondre à cette question, considérons (fig. 15) un 

 triangle N,N 2 N 3 formé par trois droites homologues quel- 

 conques; il est semblable à LÎL 2 L 3 . Les distances de A 3 aux 

 cotés N 3 N 2 , N 3 Ni sont dans le rapport /, : / 2 ; de même, celles 



O C'est-à-dire : L' étant le conjugué isogonal de L dans L[L^Lj , D et L' 

 sont des points homologues des triangles semblables IJJ3, L;L' 2 L' G . 



