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au point P, de F,, menons la droite D 4 P, qui coupe A 2 A 3 en />,, 

 et tirons par P, une parallèle à A,D t ; cette parallèle coupe 

 A,p, au point cherché P. Les figures F, F 2 sont également 

 affines; A 3 Ai est l'axe, et les rayons d'affinité sont parallèles 

 à A 2 D 2 . Donc les droites A 2 P, D 2 P 2 se coupent en un même 

 point;^ de A 3 A,, et la droite PP 2 est parallèle à A 2 D,. Enfin, 

 les figures F, F 3 sont affines, l'axe étant AiA 2 et les rayons 

 d'affinité étant parallèles à A 3 D 3 . 



Appelons J fJ J 2 , J 3 les points situés à l'infini sur les droites 

 A,Dj , A 2 D 2 , A 3 D 3 , qui sont perpendiculaires àE 2 E 5 , E 5 E,, E,E 2 . 

 Les développements qui précèdent donnent lieu au théorème 

 suivant : 



Dans trois figures semblables F,, F 2 , F 3 , les perpendiculaires 

 abaissées de trois points homologues quelconques sur les côtés 

 correspondants du triangle antimodulaire concourent en un même 

 point. Autrement dit, tout triple de points quelconques est per- 

 spectif avec le triple des points J,, J 2 , J 3 situés à l'infini sur les 

 rayons du faisceau D (A,A 2 A 3 ) ; ou encore, le triangle qui a pour 

 sommets trois points homologues quelconques est orthologique 

 avec le triangle antimodulaire. 



Remarques. — I. Les directions des côtés du triangle P,P 2 P 3 

 ne sont par arbitraires. Si, par un môme point, on mène des 

 parallèles à ces côtés et des perpendiculaires aux côtés du 

 triangle E,E 2 E 5 , on obtient trois couples de rayons conjugués 

 d'une involution. La même relation existe entre le triangle 

 E E,E 3 et tout triangle podaire ou antipodaire de E.E.Ej ou 

 affin à E,E 2 E 3 . 



IL Existe-t-il un troisième triple qui soit, comme les triples 

 l'iUi, JiJJô, perspectif avec un terne quelconque, PiP*P 3 , de 

 points homologues du système F,F 2 F 3 ? 



Soit T,T 2 T 3 un triple jouissant de cette propriété. Comme il 

 est supposé perspectif avec le terne D,A,A,, les droites T,D,, 

 Ï 2 A,, T 3 A, doivent concourir en un même point; donc T, est 

 situé sur la droite A^,. Par analogie, T 2 est sur A,D,, T 3 sur 

 A 3 D 3 . Prenons maintenant pour P, un point quelconque de la 



