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droite T,T 2 ; alors T 2 est le point de concours de T,P, , T ? P 2 et, 

 par suite, P 3 appartient à la droite T 3 T 2 . Il résulte de là que les 

 droites T,T 2 , T 5 T 2 sont des lignes homologues des figures ¥ { , F 3 , 

 et que l'angle T/IY^ est symétriquement égal à L',L 2 L 3 (*). Pour 

 une raison analogue, les angles T 2 T 3 T, , T 3 T,T 2 sont symétri- 

 quement égaux à L 2 L 3 Li , L 3 LjL 2 ; donc le triangle TjT 2 T 3 est 

 inversement semblable à L',L 2 L 3 , et, par conséquent, directe- 

 ment semblable à I,IJ 3 . Mais les triangles T,T 2 T 5 , 1,I 2 I 3 ont pour 

 centre de perspective le point D, qui n'appartient pas aux 

 circonférences circonscrites à ces triangles (**); donc leurs côtés 

 homologues sont parallèles. 



Nous avons vu que T,T 2 , T 3 T 2 sont des droites homologues 

 de F, , F 3 ; cherchons leur homologue dans F 2 et désignons par 

 TJT 2 T 3 le triangle formé par ces trois lignes. Les droites qui 

 joignent un point quelconque 31 de la circonférence de simili- 

 tude aux points I,, I 2 , I 3 se correspondent dans les figures 

 F, , F 2 , F 3 . Si M est en 1 2 , les droites sont Ï 2 I, , la tangente 1,1. à 

 la circonférence A,A 2 A 3 , et I 2 1 3 ; deux d'entre elles étant paral- 

 lèles à Tj;, TJ 3 , la tangente I 2 I 2 est parallèle à TjT 3 . Mais ï s 

 est le centre de perspective du triangle A,A 2 A 3 et de tout triangle 

 formé par trois lignes homologues de F, , F 2 , F 3 , parallèles à IJ, , 

 I^i; , I 2 I 3 (§ 42). Si l'on prend T;T,T 3 pour ce triangle, on voit 

 aisément que celui-ci se confond avec le faisceau I 2 (I|I 2 I 3 ); donc 

 T 2 coïncide avec I 2 . Pour une raison analogue, T, , T 3 coïncident 

 avec Ij , I 3 . 



44. Théorème. La série des triangles qui ont pour sommets 

 trois points homologues quelconques de trois figures semblables 

 Fj , F 2 , F 3 , est identique à la série podaire qui dérive du triangle 



(') Le raisonnement suppose les points T t , T 2 , T 3 à distance finie. Il 

 est, peut-être, susceptible de simplification. 



(**) Soient U^Us, V^jVg deux triangles directement semblables, 

 et U, V deux points tels que les faisceaux U(U 1 U S U 5 ), V(V,V S V 5 ) soient 

 directement égaux. Les points U, V sont nécessairement des points 

 homologues, à moins que les deux faisceaux ne soient inversement égaux 

 aux faisceaux associés aux deux triangles. 



