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M,M 2 M 3 , antipodaire du point directeur D par rapport au triangle 

 de similitude AjA 2 A 3 . 



Les points M„ M 2 , M 3 (fi g. 16) appartiennent, respectivement, 

 aux circonférences circonscrites aux annexes D,A,A 3 , A,D 2 A 3 , 

 A,A 2 D 3 . L'angle DD,M 4 étant droit, M.D, est parallèle à M 4 M 3 ! 

 Donc les droites A,D,, A 2 D 2 , A 3 D 3 sont égales et parallèles aux 

 hauteurs de M,M 2 M 3 . Soit « le point qui, par rapport au triangle 

 MiM 2 M 3 , est l'homologue des points P„ P 2 , P 3 considérés dans 

 les triangles D,A 2 A 3 , A,D,A 3 , A 4 A 2 D 3 semblables à M,M,M 3 . 

 Désignons par tc 4 , w a , ~ 3 les projections de n sur M,M 3 , M,M 2l 

 M 2 M 3 , et représentons par (A, a) la distance du point A à la 

 droite a. Nous aurons (§ 43) 



PP. PiVi (P„ A 2 A 3 ) (7T, M 2 >I 3 ) 7T7T, 



A,D. p.D, (D d ,A 2 A 3 ) (M„ M 2 M 3 ) A,D 



d'où PP, = t:^, , PP 2 — tutcj , PP 3 = -- 3 . Donc les quadrangles 

 PP,P,P 3 , -tt^o^ ont leurs cotés homologues égaux, parallèles 

 et de sens contraires. 



Remarque. Appelons triangle réflexe d'un point par rapport 

 à un triangle donné, celui qui a pour sommets les symétriques 

 de ce point par rapport aux côtés du triangle donné. En adop- 

 tant cette dénomination, on peut énoncer le théorème suivant : 



Étant donné un système de trois figures semblables, si P,, P 2 , P 3 , 

 P 4 sont des points homologues par rapport aux annexes et au 

 triangle antimodulaire, le triangle P 1 P- i P 5 est égal et parallèle au 

 réflexe de Pi par rapport à EjEoEs. 



45. Conséquences. Les théorèmes des §§ 43 et 44 sont fonda- 

 mentaux dans la théorie du système de trois figures semblables. 

 Ils comportent une foule de conséquences, dont plusieurs ont 

 déjà été signalées par MM. Casey, M'Cay, etc. Nous allons 

 énoncer quelques-unes de ces propositions. 



a. Les perpendiculaires abaissées de trois points homologues 

 P,, P 2 , P 3 de trois figures semblables F,, F 2 , F 3 sur les droites 

 DAj, DA 2 , DA 3 forment un triangle constant. 



